Модель кучи песка

Поведение рассмотренной системы может быть написано на языке клеточных автоматов. Простейшей моделью кучи песка служит автомат, предложенный Д. Дхаром и Р. Рамасвами.

Сопоставим куче двумерную гексагональную решетку размером L×L, горизонтальные слои которой условно соответствуют линиям уровня поверхности. В ячейках решетки расположены целые числа, характеризующие локальный наклон поверхности кучи (см. рис. 1.4). Если число превышает единицу, ячейка объявляется неустойчивой и осыпается, что выражается в уменьшении на 2 стоящего в ней числа с одновременным увеличением на 1 значений в двух ячейках, примыкающих к данной снизу.

Шаг моделирования состоит из возмущения и релаксации. Возмущение устойчивого состояния производится путем увеличения на единицу значения в случайно выбранной ячейке верхнего слоя, что соответствует добавлению одной песчинки на вершину кучи. Если в результате возмущения ячейка теряет устойчивость, то она осыпается и начинается процесс релаксации.

Устойчивыми считаются ячейки с нулевым или единичным наклоном. При потере ячейкой устойчивости из нее изымаются две песчинки и передаются в пару нижележащих ячеек. Лавина инициируется добавлением одной песчинки в случайно выбранную ячейку верхнего слоя. Слева приведено состояние системы до лавины осыпаний, справа – после. Заливкой показаны область лавины и ячейки на ее границе, которые, получив песчинку, сохранили устойчивость.

Осыпание ячейки приводит к увеличению наклона в нижележащих ячейках, что, в свою очередь, способно нарушить их устойчивость и т.д. по принципу цепной реакции. Таким образом, потеря устойчивости одной ячейкой может вызвать лавину осыпаний, продолжающуюся до тех пор, пока все ячейки вновь не обретут устойчивость.

Рисунок 1.4 – Простейший клеточный автомат для кучи песка

После этого релаксационный процесс считается завершенным и начинается следующий шаг моделирования.

Нижний край решетки является открытым, так что при осыпании ячейки из нижнего слоя две песчинки покидают систему. Это обеспечивает существование стационарного состояния и возможность самоорганизации. Левый и правый края решетки ради простоты отождествлены, т.е. она свернута в вертикальный цилиндр (периодические граничные условия).

Лавины в данной модели распространяются строго сверху вниз, не затрагивая два раза один слой. Поэтому их вполне можно охарактеризовать всего двумя числами: площадью области S, где произошли осыпания, и длительностью T (числом затронутых лавиной слоев).

Концепция самоорганизованной критичности — это холистическая теория (холизм — “философия целостности). Она подразумевает, что глобальные характеристики, такие, как относительное число больших и малых событий, не зависят от микроскопических механизмов. Именно поэтому глобальные характеристики системы нельзя понять, анализируя ее части по отдельности. Концепция самоорганизованной критичности - это единственная модель, или математическое описание, которое привело к холистической теории динамических систем.

2 ОСНОВЫ ТЕОРИИ ФРАКТАЛЬНОЙ РАЗМЕРНОСТИ

Дата добавления: 2014-01-04