Метод Гаусса. Дана система . Умножим левую и правую части этого выражения на А–1:

Метод обратных матриц

Дана система . Умножим левую и правую части этого выражения на А ^–1:

; .

При его реализации стоит проблема нахождения обратной матрицы А ^–1, с выбором экономичной схемы ее получения и с достижением приемлемой точности. Эти вопросы рассмотрим ниже.

Этот метод является наиболее распространенным методом решения СЛАУ. В его основе лежит идея последовательного исключения неизвестных, в основном, приводящая исходную систему к треугольному виду, в котором все коэффициенты ниже главной диагонали равны нулю. Существуют различные вычислительные схемы, реализующие этот метод. Наибольшее распространение имеют схемы с выбором главного элемента либо по строке, либо по столбцу, либо по всей матрице. С точки зрения простоты реализации, хотя и с потерей точности, перед этими схемами целесообразней применять так называемую схему единственного деления. Рассмотрим ее суть.

Посредством первого уравнения системы (1) исключается х ₁ из последующих уравнений. Далее посредством второго уравнения исключается х ₂ из последующих уравнений и т.д. Этот процесс называется прямым ходом Гаусса. Исключение неизвестных повторяется до тех пор, пока в левой части последнего n -го уравнения не останется одно неизвестное х_n

a ¢ _nnx_n = b ¢, (5)

где a ¢ _nn и b ¢ – коэффициенты, полученные в результате линейных (эквивалентных) преобразований.

Прямой ход реализуется по формулам

а * _mi = a_mi – ;

b * _m = b_m – (6)

где m – номер уравнения, из которого исключается x_k;

k – номер неизвестного, которое исключается из оставшихся (n – k) уравнений, а также обозначает номер уравнения, с помощью которого исключается x_k;

i – номер столбца исходной матрицы;

a_kk – главный (ведущий) элемент матрицы.

Во время счета необходимо следить, чтобы a_kk ¹ 0. В противном случае прибегают к перестановке строк матрицы.

Обратный ход метода Гаусса состоит в последовательном вычислении x_n, x_{n –1},..., x ₁, начиная с (5) по алгоритму

x_n = b ¢ / a ¢ _nn; . (7)

Точность полученного решения оценивается посредством «невязки» (3). В векторе невязки (r ₁, r ₂,..., r_n)^Т отыскивается максимальный элемент и сравнивается с заданной точностью e. Приемлемое решение будет, если r _max < e. В противном случае следует применить схему уточнения решения.

Дата добавления: 2014-01-04