Интерполирование функций

Интерполирование по определению предполагает нахождение промежуточных значений величины заданной таблицей или графиком по некоторым ее значениям. Относительно функциональных зависимостей она является одним из основных видов точечной аппроксимации. Суть интерполирования в данном случае заключается в следующем:

Пусть функция f (х) определена на отрезке [ а, b ], на котором должна быть обеспечена близость f (х) и j(х). На данном отрезке выбирается система точек, называемых узлами, по правилу:

a £ x ₀ < x ₁ < x ₂ < … < x_n £ b.

Их число равно количеству параметров в (1).

Известны значения функции f (х) в этих узлах, т.е.

y_i = f (x_i),

Задача интерполирования сводится к подбору многочлена согласно (1) вида:

, (2)

с действительными коэффициентами с_k, найденными по правилу:

, (3)

Такой многочлен называют интерполяционным многочленом.

Процедуру (2) с использованием условий (3) называют глобальной интерполяцией. Если же многочлен (2) строится только для отдельных участков отрезка [ а, b ] (области определения f (х)), т.е. для m интерполяционных узлов, где m < n, то интерполяцию называют локальной.

Матрица системы (3) и ее определитель имеют следующий вид:

| G | ¹ 0, (4)

так как узлы выбранной системы точек различны. Следовательно, система (3) имеет единственное решение, т.е. коэффициенты многочлена (2) находятся однозначно.

Заметим, что условие (3) обеспечивает близость f (х) и F (х), по любой технологии ее получения, т.е. в узлах интерполяции f (х) и F (х) совпадают по их значениям.

Если (2) и (3) используются для вычисления значений функции для случая x < x ₀ и x > x_n такое приближение называется экстраполяцией.

Дата добавления: 2014-01-04