Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Формула Лагранжа для произвольной системы интерполяционных узлов

Интерполяционный многочлен Лагранжа

Многочлен Лагранжа ищется в виде линейной комбинации из значений f (х) в узлах интерполяции и каких-то специально построенных из системы узлов интерполяции многочленов n -ой степени в виде:

. (10)

Итак, сначала строится вспомогательный многочлен (n +1)-й степени

(11)

и многочлен n -й степени

. (12)

Очевидно, что многочлен (11) обращается в нуль в узлах интерполяции xi, т.е. w(xi) = 0, i = , а многочлен (12) j i (x) обращается в ноль во всех узлах, кроме узла xi, т.е.:

(13)

Из равенств (12) и (13) следует, что построенный новый многочлен

принимает нулевое значение во всех узлах, кроме j -го, а в узле xj его значение будет равно единице, т.е.

.

Тогда j -й многочлен из (10) lj (xi) × yj будет принимать нулевые значения во всех узлах, кроме xj, и значение yj в узле xj, т.е.

Согласно (10) составим многочлен

,

где .

Или в более свернутой форме

; (14)

Его погрешность , где x Î [ a, b ].

В отличие от полинома (8) здесь не требуется предварительного определения всех его коэффициентов. Однако, для каждого xТ нужно рассчитывать полином Лагранжа по технологии (14). Поэтому объем вычислений фактически не меньше, чем при технологии расчета (9).

На практике, если необходим повторный расчет при различных xТ в большем количестве, то схема (8) будет предпочтительнее. Однако полином Лагранжа широко используется при реализации других численных методов. Следует подчеркнуть, что при n = 1 – это линейная, а при n = 2 – квадратичная интерполяция.

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Интерполяция общего вида | Интерполяционный многочлен Ньютона
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 297; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.013 сек.