Интерполяционный многочлен Ньютона для системы равноотстоящих узлов

В случае равностоящих узлов имеется много различных формул, построение которых зависит от расположения точки интерполирования х_Т по отношению к узлам интерполирования.

Пусть функция f (x) задана таблицей значений f_k = f (x_k) = y_k в узлах x_k = x ₀+ kh (k = ), h = x_{k +1} – x_k = const.

На основании условий (3) и аппарата конечных разностей для определения коэффициентов для искомого многочлена (17) получена формула

, k = ; при условии, что D⁰ = 1; 0! = 1. (22)

Подставляя (22) в (17) получим формулу Ньютона для интерполирования в начале таблицы

(23)

При этом конечные разности определяются или по схеме (табл.1) или по формуле для произвольного узла (19).

Для практического удобства формула (23) часто записывают в другом виде. Вводится новая переменная t = (x – x ₀)/ h. Тогда имеем:

x = x ₀ + kh; ;

, …, ;

и (23) примет вид

N (x ₀ + th) = y ₀ + t . (24)

Выражение (24) может аппроксимировать y = f (x) на всем отрезке [ x ₀, x_n ]. Однако, с точки зрения повышения точности расчетов, и уменьшения числа членов в (24), рекомендуется ограничиться случаем t < 1, т.е. использовать формулу (24) для интервала x ₀ £ x £ x ₁. Для других значений аргумента, например, для x ₁ £ x £ x ₂, вместо x ₀ лучше взять значение x ₁. Тогда (24) можно записать в виде

N (x_i + th) = y_i + ; i = 0,1,… (25)

Выражение (25) называется первым интерполяционным многочленом Ньютона для интерполирования вперед. Он используется для вычисления значений функций в точках левой половины рассматриваемого отрезка. Это объясняется тем, что разности D ^ky_i вычисляются через значение функции y_i, y_{i +1},..., y_i+k, причем i + k £ n. Поэтому при больших значениях i нельзя вычислить значения разностей высших порядков (k £ n – i). Например, при i = n – 3 в (25) можно учесть только D y, D² y, D³ y.

Для правой половины отрезка разности рекомендуется вычислять справа налево. В этом случае t = (x – x_n) / h, т.е. t < 0 и (25) можно получить в виде

N (x_n + th) = y_n + . (26)

Полученная формула называется вторым интерполяционным многочленом Ньютона для интерполирования назад. Для интерполирования в средине отрезка можно использовать интерпретации многочлена Ньютона – это многочлены Стирлинга, Гаусса, Бесселя.

Погрешность метода Ньютона:

,

при t =, x – принадлежит отрезку.

Рассмотрим пример. Вычислить значение функции y = f (x), заданной таблицей в точках x = 0,1 и x = 0,9. Строим таблицу 1 для конечных разностей

x	y = f (x)	D у	D^2 у	D^3 у	D^4 у	D^5 у
	1,2715
		1,1937
0,2	2,4652		–0,0146
		1,1791		0,0007
0,4	3,6443		–0,0139		–0,0001
		1,1652		0,0006		0,0000
0,6	4,8095		–0,0133		–0,0001
		1,1919		0,0005
0,8	5,9614		–0,0128
		1,1391
	7,1005

Используя для расчета верхние значения конечных разностей, получим при x = 0,1 значение t = (x – x ₀)/ h = (0,1 – 0) / 0,2 = 0,5. По формуле (24) получим

f (0,1) N (0,1) = 1,2715 + 0,5 ´

´ 1,1937+

+ .

По формуле линейной интерполяции f (0,1)» 1,8684; D = {0,0018}.

Значение функции в точке x = 0,9 вычислим по формуле (26). В данном случае t = (x – x_n) / h = (0,9 – 1) / 0,2 = –0,5. Используя нижние значения конечных разностей, получим

f (0,9)» N (0,9) = 7,1005 – 0,5 × 1,1391 –

–

–.

Если считать по (24) f (0,9) = 6,532522641.

Линейная интерполяция f (0,9) = 6,53095; D = {0,00155}.

Дата добавления: 2014-01-04