КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Сплайны
Пусть интервал [ a, b ] разбит узлами xi, как и выше, на n отрезков, 0 £ i £ n Сплайном Sn (x) называется функция, определенная на [ a, b ], принадлежащая Ck [ a, b ] и такая, что на каждом отрезке [ xi, xi +1], 0 £ i £ n –1 – это полином n -й степени. В частности, это могут быть, построенные специальным образом, многочлены 3-й степени (кубический сплайн), которые являются математической моделью гибкого тонкого стержня, закрепленного в двух точках на концах с заданными углами наклона a и b. В данной физической модели стержень принимает форму, минимизирующую его потенциальную энергию. Пусть форма стержня определяется какой-то функцией y = S (x). Из курса сопротивления материалов известно, что уравнение свободного равновесия имеет вид S (IV)(x) = 0. А этому состоянию соответствует многочлен третьей степени между двумя соседними узлами интерполяции. Его выбирают в виде S (x) = ai + bi (x – xi –1) + ci (x – xi –1)2 + di (x – xi –1)3; xi –1 £ х £ xi. (31) Стоит проблема нахождения ai, bi, ci, di. Для определения их на всех n элементарных участках интервала [ a, b ] необходимо составить 4 n уравнений. Часть этих уравнений в составе 2 n получают из условия прохождения S (x) через заданные точки, т.е. S (xi –1) = yi –1; S (xi) = yi . Эти условия можно записать, используя (31) в виде: (32) (33) Уравнения в количестве (2 n –2) получают из условия непрерывности первых и вторых производных в узлах интерполяции. Условие гладкости. Вычислим производные многочлена (31) (x) = bi + 2 ci (x – xi –1) + 3 di (x – xi –1)2, (x) = 2 ci + 6 di (x – xi –1); при xi –1 £ х £ xi. (34) Приравнивая в каждом внутреннем узле x = xi значения этих производных, вычисленных на концах рассматриваемого отрезка, получают (2 n –2) уравнений bi +1 = bi + 2 hici + 3 h di; i =1,2,…, n –1; (35)
ci +1 = ci + 3 hidi; i =1,2,…, n –1. (36) Оставшиеся 2 уравнения получают из естественного предположения условия о нулевой кривизне этой функции на концах отрезка. (37) Система, составленная из (32) – (37), решается одним из методов решения СЛАУ. Для упрощения машинных расчетов эта система уравнений приводится к более удобному виду посредством следующего алгоритма. 1. Из условия (32) можно сразу найти ai. 2. Из (36) – (37) находят: (38) 3. После подстановки (38) и (32) в (33) находят коэффициенты bi. bi = ; bn = . (39) 4. Учитывая (38) и (39) из уравнения (35) исключаются di и bi, тогда исходная система приводится к трехдиагональной матрице, содержащей только коэффициенты ci. Получаем систему hi –1 ci –1 + 2(hi –1 + hi) ci + hici +1 = 3(), i =2,3,…, n. (40) При этом c 1 = 0, cn +1 = 0. Система (40) может быть решена методом прогонки. Зная ci по (38) и (39), определяют bi и di. Тогда кубический многочлен определяется для всех интервалов. Пример составления системы (40). Пусть функция f (x) задана таблицей
с 1 = 0; 0,05 c 1+0,18 c 2+0,04 c 3 = 3 (коэффициент при c 2 получен следующим образом: 2×(0,05+0,04) = 0,18;) 0,04 c 2 + 0,2 c 3 + 0,06 c 4 = 3; 0,06 c 3 + 0,18 c 4 + 0,03 c 5 = 3 0,03 c 4 + 0,1 c 5 = 3 c 6 = 0. В результате получим систему относительно c 2 ¸ c 5: ´ = . Найдя ci по (38), находят di и затем по (39) – bi.
Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 250; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |