Аппроксимация посредством многочлена Ньютона

Аппроксимация производных посредством глобальной интерполяции

Предположим, что функция f (x), заданная в виде таблицы с постоянным шагом h = x_i – x_{i –1} (i = 1,2,…, n) может быть аппроксимирована интерполяционным многочленом Ньютона:

. (9)

Дифференцируя (9) по переменной x как функцию сложную:

можно получить формулы для получения производных любого порядка:

;

(10)

Следует заметить, что точность ЧД для выбранного x будет существенно зависеть от значений функции во многих узлах, что не предусмотрено в соотношениях (2) – (4).

Пример. Для функции заданной таблично

x	y	D y	D^2 y	D^3 y	D^4 y	D^5 y
	1,2833
0,1	1,8107	0,5274	0,0325	0,0047	0,0002	0,0000
0,2	2,3606	0,5599	0,0372	0,0049	0,0002
0,3	2,9577	0,5971	0,0421	0,0051
0,4	3,5969	0,6392	0,0472
0,5	4,2833	0,6864

вычислить в точке x = 0,1 первую f ' (x) и вторую f " (x) производные. Здесь h =0,1; t = (0,1 – 0)/0,1 = 1. Предварительно вычислим конечные разности для (10).

Используя формулы (10), находим:

y'» 10× (0,5274+((2×1–1)/2)×0,0325+0,0047×(3×1–6×1+2)/6+0,0002×(4×1–

–18×1+22×1–6)/24) = 5,436;

y"» 100× (0,0325+0,0047×(6×1–6)/6+0,0002×(12–36+22)/24) = 3,25.

Замечание. В расчетной практике численного дифференцирования интерполяционные многочлены Ньютона, Гаусса, Стирлинга и Бесселя используются в несколько иной форме, так как формулы ЧД применяют для нахождения производных в равностоящих узлах x_i = x ₀ + ih (i = 0, ±1, ±2, …), то любую точку сетки можно принять за начальную и формулы ЧД записывают для точки x ₀. А это равносильно подстановке в них t = (x – x ₀)/ h = 0. Тогда дифференцирование многочленов приводит к следующим формулам.

По Ньютону:

; (а)

;

; (б)

.

Формулы (а) применяются для начальных строк таблиц, а (б) – для последних строк таблицы. Тогда по Стирлингу:

; (с)

.

Формулы (с) – для дифференцирования в середине таблицы.

Пример. Использование формул (а) и (с) для функции y = sh2 x с h = 0,05. Найти y ' и y " в точках х = 0,00 и х = 0,1. Возьмем расчетную таблицу для y = f (x) в виде:

x	y = f (x)	D у	D^2 у	D^3 у	D^4 у	D^5 у
0,00	0,0000
0,05	0,10017
0,10	0,20134
0,15	0,30452
0,20	0,41075
0,25	0,52110

Решение. Воспользуемся формулами ЧД на основе интерполяционных многочленов. Составим таблицу конечных разностей. Она продолжилась до разностей 4-го порядка, т.к. дальше получится «0».

Для точки x = 0,0 используем формулы (а), считая х ₀ = 0,0:

y ' | _{x = 0,0}» =

= 20 × (0,10017 – 0,00050 + 0,0034 – 0,00001) = 2,0000;

y " | _{x = 0,0}» =

= 400 × (0,00100 – 0,00101 + 0,00003) = 0,008.

Для точки x = 0,1 используем формулы (c), считая х ₀ = 0,1:

y ' | _{x = 0,1}» =

= 20 × (0,10217 – 0,00017) = 2,0400;

y " | _{x = 0,1}» = 400 × (0,00201 – 0,00000) = 0,804.

Для сравнения приведем точные значения первой и второй производных функции y = sh2 x:

y' = 2ch2 x: для x = 0,0: y' = 2; а для x = 0,1: y' = 2,0401;

y" = 4sh2 x: для x = 0,0: y" = 0; а для x = 0,1: y" = 0,8052.

Интерполяционный многочлен (9) и его интерпретации (Стирлинга, Гаусса) для вычисления производной в середине и в конце отрезка определения f (x) дают выражение для производной через конечные разности . Однако на практике выгоднее иногда выражать значения производных непосредственно через значения y_i.

Ответ на этот вопрос дает интерполяционный многочлен Лагранжа для равномерной сетки интерполяционных узлов.

Дата добавления: 2014-01-04