Применение систем эконометрических уравнений. Коэффициенты структурной модели могут быть оценены разными способами в зависимости от вида системы одновременных уравнений

Коэффициенты структурной модели могут быть оценены разными способами в зависимости от вида системы одновременных уравнений. Наибольшее распространение получили два метода оценивания коэффициентов структурной модели: косвенный МНКи двухшаговый МНК.

Оценивание параметров структурной модели

Косвенный МНК ( КМНК) применим в случае точно идентифицируемой структурной модели. Процедура следующая:

1. Структурная модель преобразуется в приведенную форму.

2. Для каждого уравнения приведенной формы обычным МНК оцениваются коэффициенты δ_ij

3. Коэффициенты приведенной модели трансформируются в параметры структурной модели.

Рассмотрим применение КМНК для модели:

Для построения модели имеем таблицу:

№ п/п
Средние		6,2	2,4	3,4

Приведенная форма модели имеет вид:

где случайные ошибки приведенной формы модели.

Для каждого уравнения приведенной формы применим традиционный МНК и определим δ - коэффициенты. Для простоты работаем в отклонениях, т.е. Тогда система нормальных уравнений для первого уравнения системы составит:

Для приведенных данных система составит:

Отсюда получаем первое уравнение (и аналогично второе):

Перейдем к структурной форме следующим образом: исключим из первого уравнения приведенной формы x₂, выразив его из второго уравнения приведенной формы и подставив в первое уравнение:

Первое уравнение структурной формы:

Аналогично исключим из второго уравнения x₁ выразив его через первое уравнение и подставив во второе:

второе уравнение структурной формы.

Структурная форма модели имеет вид:

Эту же систему можно записать, включив в нее свободный член уравнения, т.е. перейти от переменных в виде отклонений от среднего к исходным переменным и

Тогда структурная модель имеет вид:

Если к каждому уравнению структурной формы применить традиционный МНК, то результаты могут сильно отличаться. В данном примере будет:

Двухшаговый МНК. ДМНК используется для сверхидентифицируемых систем. Основная идея ДМНК: на основе приведенной формы модели получить для сверхидентифицируемого уравнения теоретические значения эндогенных переменных, содержащихся в правой части уравнения. Далее, подставив их вместо фактических значений, можно применить обычный МНК к структурной форме сверхидентифицируемого уравнения. Здесь дважды используется МНК: на первом шаге при определении приведенной формы модели и нахождении на ее основе оценок теоретических значений эндогенной переменной и на втором шаге применительно к структурному сверхидентифицируемому уравнению при определении структурных коэффициентов модели по данным теоретических (расчетных) значений эндогенных переменных.

Сверхидентифицируемая структурная модель может быть двух типов:

- все уравнения системы сверхидентифицируемые;

- система содержит также точно идентифицируемые уравнения.

В первом случае для оценки структурных коэффициентов каждого уравнения используется ДМНК. Во втором случае структурные коэффициенты для точно идентифицируемых уравнений находятся из системы приведенных уравнений.

Рассмотрим модель:

Она получена из предыдущего примера наложением ограничения Поэтому первое уравнение стало сверхидентифицируемым.

На первом шаге найдем приведенную форму модели. С использованием тех же исходных данных получим систему:

На основе второго уравнения этой системы можно найти теоретические значения для эндогенной переменной т.е. Подставим в это уравнение значения и в форме отклонений от средних значений, запишем в виде таблицы:

-1,4	-0,4	0,103	-1,297	-2	2,594	1,682
-0,4	-2,4	0,042	-0,358	-1	0,358	0,128
0,6	-1,4	-0,035	0,565			0,319
-0,4	1,6	0,02	-0,38		-0,38	0,144
1,6	2,6	-0,13	1,47		2,94	2,161
					5,512	4,434

После того, как найдены оценки заменим в уравнении фактические значения их оценками найдем значения новой переменной Применим МНК к уравнению:

.

Получим:

В целом рассматриваемая система будет иметь вид:

Второе уравнение не изменилось по сравнению с предыдущим примером.

ДМНК является наиболее общим и широко распространенным методом решения системы одновременных уравнений. Для точно идентифицируемых уравнений ДМНК дает тот же результат, что и КМНК.

Наиболее широко системы одновременных уравнений используются при построении макроэкономических моделей экономики страны. В большинстве случаев это мультипликаторные модели кейнсианского типа. Статическая модель Кейнса народного хозяйства в самом простом виде следующая:

где С - личное потребление;

y - национальный доход в постоянных ценах;

I - инвестиции в постоянных ценах.

В силу наличия тождества в модели (второе уравнение системы) Он характеризует предельную склонность к потреблению. Если из каждой дополнительной тысячи рублей дохода на потребление расходуется в среднем 650 рублей и 350 рублей инвестируется. Если b>1 то y<C+I, и на потребление расходуются не только доходы, но и сбережения. Параметр a Кейнс истолковывал как прирост потребления за счет других факторов.

Структурный коэффициент b используется для расчета мультипликаторов. По данной функции потребления можно определить два мультипликатора – инвестиционный мультипликатор потребления M_c и национального дохода M_y:

т.е. при

Это означает, что дополнительные вложения 1 тыс. руб. приведут при прочих равных условиях к дополнительному увеличению потребления на 1,857 тыс. руб.

т.е. при ,

т.е. дополнительные вложения 1 тыс. руб. на длительный срок приведут при прочих равных условиях к дополнительному доходу 2,857 тыс. руб.

Эта модель точно идентифицируема, и для получения применяется КМНК. Строится система приведенных уравнений:

в которой а параметры и являются мультипликаторами, т.е. и . Для проверки подставим балансовое равенство в первое уравнение структурной модели:

Аналогично поступим и со вторым уравнением структурной модели:

Таким образом, приведенная форма содержит мультипликаторы, интерпретируемые как коэффициенты множественной регрессии, отвечающие на вопрос, на сколько единиц изменится значение эндогенной переменной, если экзогенная изменится на 1 единицу. Это делает модель удобной для прогнозирования.

В более поздних исследованиях статическая модель Кейнса включала уже не только функцию потребления, но и функцию сбережений:

где сбережения.

Здесь три эндогенные переменные - и и одна экзогенная - Система идентифицируема: в первом уравнении Н= 2 и D= 2, во втором Н= 1, D= 0; рассматривается как предопределенная переменная.

Наряду со статическими широкое распространение получили динамические модели экономики. Они содержат в правой части лаговые переменные, а также учитывают тенденцию. Например, модель Кейнса экономики США 1950-1960 гг. в упрощенном варианте:

чистые трансферты в пользу администрации;

кап. вложения;

правительственные расходы;

заработная плата в период ;

прибыль;

прибыль в период ;

общий доход.

Модель содержит 5 эндогенных переменных - (в левой части системы) и (зависимая переменная, определяемая по первому тождеству), три экзогенные переменные - и две лаговые предопределенные переменные и Данная модель сверхидентифицируема и решается ДМНК. Для прогнозных целей используется приведенная форма модели:

Здесь мультипликаторами являются коэффициенты при экзогенных переменных. Они отражают влияние экзогенной переменной на эндогенную переменную.

Система одновременных уравнений нашла применение в исследованиях спроса и предложения. Линейная модель спроса и предложения имеет вид:

Здесь 3 эндогенные переменные: и При этом, если и представляют собой эндогенные переменные, исходя из структуры самой системы, то является эндогенной по экономическому содержанию (цена зависит от спроса и предложения), а также в результате наличия тождества Приравняем уравнения, получим:

Модель не содержит экзогенной переменной. Однако, чтобы модель имела статистическое решение и можно было убедиться в ее справедливости, в модель вводятся экзогенные переменные.

Например, модель вида:

где доход на душу населения; климатические условия (при спросе и предложении зерна).

Переменные и экзогенные. Введя их в модель получаем идентифицированную структурную модель, где можно применить КМНК.

Дата добавления: 2014-01-04