Предпочтение и безразличие

В теорий предпочтений используются два основных бинарных отношения на множестве Х. Во-первых, отношение нестрогого предпочтения; запись xу читается следующим образом: «x либо предпочтительнее, чем у, либо безразличен к у». Чаще пользуются формулировкой «у не предпочтительнее, чем x». Bo-вторых, применяется отношение предпочтения ; запись ху; читается так: «x предпочтительнее, чем у». Отношение нестрогого предпочтения чаще встречается в литературе, но наряду с ним используется и отношение строгого предпочтения.

Когда в качестве основного бинарного отношения берется отношение нестрогого предпочтения (), то отношения предпочтения () и безразличия (~) определяются через нестрогое предпочтение следующим образом:

ху тогда и только тогда, когда ху, и неверно, что ух; х~y тогда и только тогда, когда ху и ух. (1.1)

Если же в качестве основного бинарного отношения берется отношение предпочтения, то отношение безразличия и отношение нестрогого предпочтения определяются на основе как

x~у тогда и только тогда, когда неверно ху и неверно ух; ху тогда и только тогда, когда ху или неверно ху и неверно ух. (1.2)

В том случае, когда в качестве основного бинарного отношения берется отношение , представляется исключительно целесообразным ввести предположение о его асимметричности, так как в противном случае сохранится возможность того, что одновременно х будет предпочтительнее, чем у, а у предпочтительнее, чем х. Аналогично если в качестве основного бинарного отношения берется отношение , то, по-видимому, разумно предположить наличие связности, поскольку иначе может оказаться, что х не считается столь же желательным, как у, а у не считается столь же желательным, как х.

Будем предполагать, что отношение нестрогого предпочтения является связным, а отношение предпочтения - асимметричным, причем независимо от того, какое из них выбрано в качестве основного. Как уже отмечалось выше, на вопрос о том, какое из двух отношений (или ) взять в качестве основного бинарного отношения, каждый отвечает в соответствии со своими личными вкусами.

Из асимметричности (а значит, и нерефлексивности) отношения следует, что отношение безразличия рефлексивно (х~х); отношение ~ симметрично по определению.

Дата добавления: 2014-01-04