Полезность

Определение. Пусть u - вещественная функция, определенная на Х. Функция u называется функцией полезности для отношения предпочтения на Х, если u(х)>u(у) для любых х и у, таких, что ху.

Определение. Функция u называется совершенной функцией полезности для: отношения на Х, если для всех х и у из Х справедливо неравенство u(х)>u(у) тогда и только тогда, когда ху.

Пусть отношение на Х может существовать, если только отношение является слабым упорядочением, и пусть для этого отношения определена совершенная функция полезности u; тогда x~у, если и только если u(х)=u(у). Отсюда следует, что классы безразличия в X совпадают с подмножеством альтернатив, имеющих равную полезность. В этом случае классы безразличия называют также контурами равной полезности.

Множество Х называется исчислимым, если оно конечно или если его элементы можно поставить во взаимно-однозначное соответствие с целыми положительными числами. Пусть множество Х исчислимо. Тогда для отношения на Х функция полезности существует тогда и только тогда, когда отношение ациклично (то есть, нет такого набора x₁, x₂,…,x_m из X, для которого выполняется x₁x₂, x₂x₃,…, x_m-1x_m, x_mx₁₎; совершенная функция полезности для отношения на Х существует тогда и только тогда, когда - слабое упорядочение. В случае, когда отношение является слабым упорядочением, функция полезности существует для отношения на Х тогда и только тогда, когда существует совершенная функция полезности для отношения на Х; это утверждение справедливо для множества Х (исчислимого или неисчислимого) любых размеров с любым кардинальным числом (card Х).

Неисчислимым называется множество, которое не является исчислимым, то есть ни конечным, ни счетным.

Совершенная функция полезности существует для отношения на Х тогда и только тогда, когда отношение - слабое упорядочение на Х, и кроме того, в Х существует исчислимое подмножество, которое является - плотным в Х. Это так называемое условие плотности относительно упорядочения, которое было введено Кантором. Согласно этому, условию, существует счетное подмножество Y, из Х·такое, что для любых x и z из X, для которых xz, существует y из Y такое, что либо xyz, либо y находится в отношении безразличия к одному из элементов x или z. Когда выполняется сформулированное условие и отношение - слабое упорядочение, функция u сначала определяется на соответствую­щем счетном подмножестве Y, а затем продолжается на все множество Х с помощью предельных теорем.

В случае, когда отношение - слабое упорядочение на Х и приведенное выше условие плотности относительно упорядочения не выполняется, множество действительных чисел оказывается недостаточно «богатым», чтобы можно было определить совершенную функцию полезности для отношения на X. Можно сказать, что действительных чисел не хватает, чтобы окружить каждую точку

Пусть u - совершенная функция полезности для отношения на Х. Некоторая функция v также является совершенной функцией полезности для отношения на Х, если и только если для любых х и у из Х справедливо неравенство v(х)>v(у) тогда и: только тогда, когда u(х)>u(у). Если Х={х, у, z}, хуz,

{u(х)=100, u(у) = 99, u(z)=0} и {v(х)=100, v(у)=1, v(z)=0}, то функции u и v будут функциями полезности для отношения на Х. Тот факт, что в одном случае полезность y равна 99, а в другом - только·1, не имеет принципиального значения.

Дата добавления: 2014-01-04