Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Свойства смешанного произведения

1) , данное свойство позволяет записывать смешанное произведение в виде . Действительно, из коммутативности скалярного произведения следует, что , докажем, что , равенство очевидно, поскольку и справа, и слева стоит объем параллелепипеда, построенного на одних и тех же векторах, знаки совпадают, поскольку векторы - имеют одинаковую ориентацию;

2) При перестановки местами двух соседних множителей, смешанное произведение меняет знак на противоположный

.

Данное свойство следует из антикоммутативности векторного произведения.

3) . Действительно, т.к. выполняется первое свойство, тогда , согласно линейным свойствам скалярного произведения, получаем равенство.

Теорема (смешанное произведение векторов в ортонормированном базисе). В ортонормированном базисе смешанное произведение может быть вычислено по формуле:

(6.6)

Доказательство. Действительно, смешанное произведение равно скалярному произведению векторов и , поскольку координаты , для скалярного произведения векторов в координатах получим = (т.к. четное число перестановок не меняет знак определителя) =

Теорема (о компланарных векторах). Для того, чтобы были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение равнялось нулю, т.е. выполняется равенство:

(6.7)

В самом деле, если векторы компланарны, то они по определению лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях, следовательно, объем параллелепипеда, построенного на этих векторах, будет равен нулю, учитывая запись смешанного произведения в координатной форме, получаем требуемое равенство. В обратную сторону доказательство аналогично.

Следствие. Смешанное произведение трех векторов два из которых совпадают, равно нулю, например, .

Действительно, поскольку такие векторы заведомо компланарны, их сшешанное произведение будет равно нулю.

Определение. Вектор – называется двойным векторным произведением.

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Смешанное произведение | О размерностях векторных величин
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 290; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.01 сек.