Угол между прямой и плоскостью. Условие параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости

Пусть даны плоскость , и прямая (рис 9.5) – угол между прямой и плоскостью . Определим его значение. Т. к. , и . Мы получили, что угол между прямой и плоскостью можно вычислить по формуле:

(9.5)

Рис. 9.5

Подставляя координаты векторов получим выражение .

Если прямая параллельна плоскости, , то и следовательно или .

Если прямая ортогональна плоскости , то и выполняется пропорция .

Для того чтобы прямая принадлежала плоскости необходимо, чтобы выполнялись условия:

1) , то есть ;

2) (, то есть ).

Определение. Совокупность всех прямых, проходящих через данную точку , называется связкой прямых (с центром в точке ).

Уравнение связки прямых: , где (и ).

Пример. Дано общее уравнение прямой: , нужно найти каноническое уравнение этой прямой.

Решение. , , , значит . Найдем точку, принадлежащую , полагая что , следует, , , принадлежит , следовательно, .

Некоторые задачи на прямую и плоскость в пространстве.

Задача 1. Найти условие пересечения трех плоскостей в одной и только одной точке.

Чтобы три плоскости пересекались в одной точке необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

Задача 2. Записать уравнение прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярную данной плоскости (рис. 9.6)

Рис. 9.6

Искомая прямая имеет вид .

Задача 3. Записать уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку (рис. 9.7).

Рис. 9.7

1) находим нормальный вектор для нашей плоскости ;

2) используя точку и найденный нормальный вектор , записываем общее уравнение плоскости ..

Задача 4. Найти расстояние от точки до плоскости (рис 9.8).

Поскольку расстояние от точки до плоскости есть проекция вектора соединяющего эту точку и любую точку на плоскости на нормальный вектор плоскости, поэтому ,

.

Рис. 9.8

(9.6)

Задача 5. Найти расстояние от точки до прямой ( рис. 9.10).

Пусть прямая имеет вид , поскольку верна формула , т. к. расстояние от точки до прямой есть высота параллелограмма построенного на векторах , тогда .

Рис. 9.10

Задача 6. Найти расстояние между двумя скрещивающимися прямыми (рис. 9.11).

Напомним, что две прямые называются скрещивающимися, если они не принадлежат одной плоскости.

Алгоритм действий при решении данной задачи может быть следующим:

1) проверяем, являются ли прямые скрещивающимися, для этого достаточно проверить будут ли направляющие векторы прямых и вектор, соединяющий две произвольные точки, принадлежащие прямым, компланарны, т.е. . Если смешанное произведение равно нулю, то прямые не являются скрещивающимися и наоборот, если , тогда прямые скрещивающиеся;

2) расстояние между скрещивающимися прямыми равно высоте параллелепипеда построенного на векторах , находим тогда расстояние можно вычислить по формуле: .

Рис. 9.11

Дата добавления: 2014-01-04