Матричный метод решения СЛАУ

Если определитель основной матрицы системы отличен от нуля, то ее решение определяется формулой:

(15.3)

Где - обратная к основной матрице системы, вычисляемая по формуле .

Совместность однородной и неоднородной СЛАУ.

Рассмотрим однородную СЛАУ

система всегда имеет хотя бы одно решение, например, тривиальное решение .

Когда однородная СЛАУ имеет решения отличные от нулевого?

Заметим, что существует нетривиальное решение ~ линейной зависимости столбцов матрицы однородной СЛАУ (по определению линейной зависимости это означает существует что является уравнениями системы), но по теореме о базисном миноре линейная зависимость имеет место тогда и только тогда когда порядок базисного минора меньше числа её столбцов. Отсюда теорема.

Теорема. Однородная СЛАУ имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы меньше числа её столбцов.

Следствие. Квадратная однородная система имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда определитель матрицы этой системы равен нулю.

Решение СЛАУ размерности

Рассмотрим однородную СЛАУ:

(15.4)

Данная система всегда имеет хотя бы одно решение, например тривиальное .

Теорема: Однородная СЛАУ имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы системы меньше числа её неизвестных.

Следствие: Квадратная однородная СЛАУ имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда определитель основной матрицы этой системы равен нулю .

Если ранг матрицы однородной системы равен , то система имеет линейно независимых решений: , называемых фундаментальной системой решений.

Решения являются линейно независимыми, если ранг матрицы составленной из координатных строк этих векторов равен числу этих решений.

Теорема: (о структуре решений однородных СЛАУ). Пусть произвольная фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений. Тогда любое решение системы представляет собой линейную комбинацию решений:

(15.5)

Здесь общее решение однородной системы, - произвольные постоянные, а фундаментальная система решений, (частные решения однородной системы), найденная при условии, что свободные неизвестные по очереди приравниваются , а остальные при этом равны . Неизвестные называются базисными неизвестными.

Решение неоднородной системы в общем случае определяется следующей теоремой:

Теорема: (о структуре решения неоднородной СЛАУ): Общее решение неоднородной СЛАУ определяется формулой:

(15.6)

где - общее решение соответствующей однородной системы, а - частное решение неоднородной системы.

Для более простого нахождения частного решения, удобно взять свободные неизвестные равными нулю.

Дата добавления: 2014-01-04