Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Кривые второго порядка. Цель: Изучить канонические уравнения линий второго порядка, их основные характеристики

Лекция 17

Цель: Изучить канонические уравнения линий второго порядка, их основные характеристики.

Определение. Окружность – это геометрическое место точек равноудаленных от некоторой фиксированной точки называемой центром окружности (рис.17.1).

(17.1)

если центр перенесен в точку с координатами , то

(17.2)

 

 

Рис. 17.1

Определение. Эллипсом называется геометрическое место точек, для которых сумма расстояний от двух фиксированных точек плоскости , называемых фокусами, есть величина постоянная равная .

Выведем каноническое уравнение эллипса. Возьмем произвольную точку , принадлежащую эллипсу. Отрезки , называются фокальными радиусами точки и обозначаются (Рис17.2). Их постоянную сумму принято обозначать через . Поэтому

(17.3)

 

Рис. 17.2

Расстояние между фокусами обозначим за и будем называть фокальным расстоянием. При этом , . Т.к. , то и следовательно

(17.4)

Для вывода уравнения выразим фокальные радиусы через координаты точек :

Подставим полученные выражения в формулу (17.3)

и избавимся от корней

возводим в квадрат

Сокращаем на , раскрываем скобки

сокращаем на , переносим корень влево

еще раз в квадрат: раскрываем и группируем

;

.

В полученном выражении введем обозначение

(17.5)

Получим каноническое уравнение эллипса или

(17.6)

Где - большая полуось эллипса, - малая полуось эллипса

Из соотношения (17.5) получим формулу для фокального расстояния эллипса:

(17.7)

Если центр перенесен в точку с координатами , то каноническое уравнение эллипса имеет вид:

(17.8)

Определение. Отношение расстояний между фокусами эллипса и длиной его большой оси. Называется эксцентриситетом и обозначается

(17.9)

Т.к. для эллипса , то

Сократим равенство (17.9) на и возведя в квадрат выполним следующие преобразования:

,

или .

Из последних равенств видно, что эксцентриситет определяется отношением осей эллипса и наоборот, следовательно, чем больше эксцентриситет, тем более вытянута форма эллипса, при уменьшении эксцентриситета – эллипс стягивается в окружность.

Для произвольной точки эллипса , .

Система определяет параметрическое уравнение эллипса.

В полярной системе координат уравнение эллипса имеет вид

Для эллипса вводят две прямые называемые директрисами, их канонический вид: , .

Определение. Эллипс - геометрическое место точек, для которых отношение фокального радиуса к расстоянию до соответствующей директрисы равно эксцентриситету эллипса (рис. 17.3):

(17.10)

Рис.17.3

Определение. Гипербола – это геометрическое место точек, для каждой из которых разность расстояний от двух фиксированных точек плоскости , называемых фокусами, есть величина постоянная равная .

Любая точка принадлежит гиперболе, если разность между ее фокальными радиусами равна(рис.17.3).

(17.11)

 

 


Рис.17.4

поступая по аналогии с выводом уравнения эллипса, получим каноническое уравнение гиперболы

(17.12)

Где , - действительная ось, - мнимая ось, - фокальное расстояние.

Расстояние до фокуса гиперболы будет определятся равенством: (17.13)

Прямые (17.14)

называются асимптотами гиперболы.

Если координаты центра смещены в точку , то каноническое уравнение гиперболы имеет вид (17.15) Прямоугольник, построенный на величинах и – называется основным прямоугольником гиперболы (рис. 17.5).

Эксцентриситет гиперболы определяется как отношение фокального расстояния к действительной оси

, или

т.е. эксцентриситет гиперболы характеризует форму основного прямоугольника, и следовательно форму гиперболы.

Определение. Две прямые, ортогональные той оси гиперболы, которая ее пересекают и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии от него называются директрисами гиперболы. Обозначаются (рис.17.5).

 

 
 

 

 


Рис.17.5

Определение. Парабола – это геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние от некоторой фиксированной точки , называемой фокусом равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой , называемой директрисой (рис. 17.6):

(17.16)

Расстояние – называется фокальным расстоянием параболы, а параметр - параметром параболы. Т.к. для параболы , то .

Выведем уравнению параболы, используя формулу (17.16) и то обстоятельство, что , .

 
 

 


Рис. 17.6

, .

Приравниваем и возводим в квадрат:

Избавляемся от корня повторным возведением в квадрат

Приходим к каноническому уравнению параболы

(17.17)

Если вершина параболы смещена в точку , то каноническое уравнение имеет вид:

 

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Свойство самосопряженного линейного оператора | Приведение кривой 2-го порядка к каноническому виду
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 454; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.024 сек.