Система двух непрерывных случайных величин

Рассмотрим теперь случай, когда обе случайные величины и непрерывны. В этом случае для описания совместного распределения задается двумерная плотность распределения вероятностей . Аналогично одномерному распределению, для двумерного распределения и любой точки с точностью до бесконечно малых более высокого порядка выполняется равенство:

, где ,- бесконечно малые приращения. Тогда вероятность того, что точка с координатами попадет в некоторую область G, выражается равенством:

.

Геометрически это означает, что вероятность попадания значения пары случайных величин в область численно равна объему цилиндрической фигуры, ограниченной сверху поверхностью , основанием которой является область .

Аналогично свойствам плотности распределения вероятности, введенным для одномерного случая, можно указать свойства двумерной плотности распределения:

1. для всех значения и .

2. .

Свойство 2 называется нормирующим и геометрически означает, что объем фигуры, заключенной между поверхностью распределения и плоскостью равен единице.

Наиболее простым примером двумерного распределения является равномерное распределение двумерной величины в области G:

.

Константа определяется из условия , так что , где - площадь области .

Плотности распределения и составляющих и соответственно определяется по формулам:

, .

В случае непрерывного распределения случайные величины и называются независимыми, если .

Рис. 4.2.1а Рис. 4.2.1б

Пример 4.2.4 Двумерная случайная величина распределена равномерно в квадрате .(рис. 4.2.1а). Исследовать случайные величины и на независимость.

Решение. Из условия нормировки следует, что в области . Тогда;

, то есть ,

, то есть .

Таким образом, в области

, а случайные величины и независимы.

Пример 4.2.5. Решить туже задачу для области (рис.4.2.1б).

Решение: Согласно условию нормировки в области . Распределение составляющих имеет вид:

, т.е. ,

, т.е. .

Видно, что в областиусловие независимости случайных величини не выполняется:

.

Следовательно, случайные величины и зависимы.

Все рассуждения по поводу коэффициента корреляции случайных величин, а также о связи независимости и некоррелированности случайных величин выполняются и для непрерывных случайных величин и

Важным примером двумерного распределения является нормальное двумерное распределение случайных величин, плотность которых имеет вид:

Заметим, что для случайных величин, распределенных по двумерному нормальному закону, понятия независимости и некоррелированности совпадают: если величины некоррелированы , то независимы и наоборот.

Дата добавления: 2014-01-04