Генерация мультимножеств

Begin

GRAY (n)

GRAY (m-1)

end

end;

begin

for i:=1 to n do s[i]:=0;

end.

Упражнение. 1. Проверить, что при n=4 программа действительно генерирует требуемую последовательность.

2. Показать, что в процессе исполнения оператора строки {2} вызов процедуры GRAY происходит 2^m-1 раз.

3. Доказать корректность программы SET2.

4. Определить вычислительную сложность программы SET2.

Упорядоченную последовательность двоичных n-разрядных наборов обычно называют кодами Грея n-го порядка(происхождение этого названия см. [4]), если каждый набор в этой последовательности отличается от предыдущего изменением только одного разряда.

Пусть задана некоторая перестановка <a₁,...,a_n>. Нетрудно видеть, что если мы в строке {1} программы SET2 заменим оператор печати на write (s[a[i]]), то модернизируемая программа будет также строить коды Грея. Их обычно называют симметрично-отраженными. Можно показать, что существует n! различных симметрично-отраженных кодов Грея, начинающихся с нулевого кодового слова.

Упражнение. Для какого наименьшего n существует несимметрично отраженный код Грея, начинающийся с нулевого кодового слова.

Перейдем к построению итеративного варианта алгоритма SET2. Здесь достаточно учесть равенство I_n = P_n:

program SET3;

const n=;

var s: array [1..n] of 0..1;

i,j,k,p: integer;

{0} for k:=1 to n do s[k]:=0;

i:=0; {i определяет число сгенерированных подмножеств}

repeat

for k:=1 to n do write(s[k]); writeln;

{1} i:=i+1;

p:=1; j:=i;

{2} while j mod 2 = 0 do

begin {j*2^p-1 = i}

j:=j div 2;

p:= p+1

end; {p определяет номер изменяемого разряда}

if p <= n then

{3} s[p]:=1-s[p]

{4} until p>n

end.

Комментарий. Пусть после выполнения оператора {1} i имеет двоичное разложение b_m...b_p0...0, где b_p=1 (или до выполнения оператора {1} значение i в двоичной системе выглядело как b_m...b_p+101...1 (сравните с программой SET1)). Для определения p достаточно выполнить оператор {2}. Условие {4} означает, что уже сгенерировано 2ⁿ кодовых слов.

Упражнение. Определить вычислительную сложность программы SET3.

Улучшить временные характеристики приведенной программы можно за счет замены цикла {2} более совершенной конструкцией. Здесь возможны два подхода. Первый основан на непосредственном применении машинных команд, а второй - на использовании определенной закономерности в последовательности номеров изменяемых разрядов в текущем кодовом слове.

Перейдем к изложению первого способа. Предположим, что порядок генерируемых кодовых слов меньше чем длина машинного слова в арифметических и логических командах ЭВМ. Пусть знак º обозначает команду по разрядного сравнения двух слов (т.е. в результате получается новое слово, в котором единицы стоят только а тех разрядах, которые различны в заданных словах). Знак & обозначает поразрядную конъюнкцию двух слов. Применив эти команды, можно улучшить временные характеристики программы SET3. В самом деле s можно хранить в упакованном виде в одном слове. Пусть в i1 хранится значение i до выполнения оператора {1}, т.е. i1=i-1. Тогда оператор {0} эквивалентен s:=0; оператор {2} - p:=(iºi1)&i; оператор {3} - s:=sºp; условие {4} записывается как i=2ⁿ.

Пример. Пусть длина машинного слова равна 16. После оператора {1} i=3984. Тогда машинное представление:

i=0000 1111 1001 0000

i1=i-1=0000 1111 1000 1111

iºi1=0000 0000 0001 1111

p=(iºi1)&i=0000 0000 0001 0000

Случай когда n совпадает с длиной машинного слова, поддается подобной модификации, но требует учета ‘переполнения’ слов.

Упражнение. Используя равенство I_n = P_n показать, что если 0£i<n и b_nb_n-1...b₀-двоичное представление i, записанное в n+1 позиции и G_i=g₁g₂...g_n i-ый по порядку код Грея, генерируемый программой SET3, то g_k = b_n-k+b_n-k+1, 1£k£n. Построить программу генерации кодов Грея на основе последнего равенства.

Второй способ [4] строится на хранении в памяти последовательности значений номеров изменяемых разрядов в текущем кодовом слове, т.е. на хранении значений последовательности P_n. Вследствие рекурсивного определения P_n естественно организовать хранение ее элементов в виде стека. В этом случае генерация ее элементов может быть описана по следующей итеративной схеме:

1) {инициализация стека} Вначале стек содержит элементы n,n-1,...,1 (с 1 в вершине).

2) Алгоритм выталкивает верхний элемент i и помещает его в последовательность.

3) В стек добавляются элементы i-1,i-2,...,1.

4) Повторяются выполнения с шага 2 до тех пор, пока стек не опустошится.

Упражнения. 1.Доказать корректность приведенного алгоритма.

2. Написать программу генерации P_n по этому алгоритму.

3. Оценить временную и емкостную сложность полученной программы.

Отметим, что занесение значений в стек фактически совпадает с занесением значений параметра m в стек исполняемой программы при вызовах процедуры GRAY из SET2, и поэтому не дает существенного выигрыша по сравнению с алгоритмами SET2 и SET3. Однако если организовать стек в виде списочной структуры особого типа, при которой действия по включению на шаге 3 элементов i-1,i-2,...,1 в стек выполняются за постоянное число операций, независящих от i, то можно заметно улучшить временные характеристики алгоритма.

Пусть стек хранится в массиве (t₀,t₁,...,t_n), при этом t₀ указывает на верхний элемент в стеке, и для каждого i>0 t_i определяет значение расположенное в стеке под элементом i, если i находится в стеке. Заметим, что элементы i-1,i-2,...,1 помещаются в стек после удаления элемента i за счет изменения значения t₀ на 1.Если i нет в стеке, то значение t_i может быть, вообще говоря, любым, так как не оказывает никакого влияния на вычисления. Однако его значение разумно установить равным i+1, т.к. по свойству алгоритма, в случае когда в следующий раз элемент i+1 будет помещен в стек, элементом, находящимся над ним, будет i. Удаление из стека элемента i в этом случае может быть осуществлено за счет пересылки t_i-1 в t_i. Алгоритм порождения последовательности P_n на языке Паскаль может быть записан так:

program PN;

const n=; n1 =; {n1=n+1; }

var t: array [0..n] of 1..n1; {стек}

p: integer;

begin

for p:=0 to n do

t[p]:=p+1; {инициализация стека}

p:=0;

while p<n1 do

begin

p:=t[0]; {1}

if p<>n1 then

begin

writeln (p); {2}

t[p-1]:=t[p]; {3}

t[p]:=p+1;

if p<>1 then t[0]:=1 {4}

end

end

end.

Упражнения. 1.Протестируйте программу PN при n=3.

2. Докажите корректность алгоритма генерации последовательности P_n для произвольного n.

Замечание. Если оператор {1} поместить после оператора {2}, то оператор {4} можно исключить, т.к. в этом случае неверные значения t[0] будут исправляться оператором {3}.

Учитывая последнее замечание, алгоритм генерации кодов Грея на основе порождения последовательности P_n по алгоритму Pn может быть записан так:

program SET4;

const n =; n1 =; n2 =; {n1=n+1; n2= n+2}

var t: array [0..n1] of 1..n2;

s: array [1..n1] of 0..1;

i,p: integer;

begin

for i:=1 to n1 do

begin s[i]:=0;

t[i]:=i+1 {инициализация стека}

end;

p:=0; t[0]:=1;

{1} while p<n1 do

begin

for i:=1 to n do write(s[i]); writeln;

p:=t[0];

s[p]:=1-s[p];

t[0]:=1;

t[p-1]:=t[p];

t[p]:=p+1

end

end.

Комментарий. Добавление в массивы t и s n+1-х элементов сделано для того, чтобы сократить число проверок внутри цикла {1}.

Для представления данных некоторых задач более естественными, чем множества являются множества с повторениями элементов, или мультимножества. При записи мультимножеств с каждым элементом удобно связывать неотрицательное целое число, указывающее количество повторений этого элемента.

Пример. Мультимножество (x, x, x, y, y, z, z, z, u) удобно записывать как (3×x, 2×y, 3×z, 1×u).

Применение коэффициентов кратности удобно также для представления мультимножеств при построении алгоритмов. Пусть x<y<z<u, тогда множество (3×x, 2×y, 3×z, 1×u) представимо как (3,2,3,1).

Таким образом, если для представления подмножеств некоторого базового множества из n элементов были использованы n-последовательности нулей и единиц, то для представления мультимножеств, которые можно построить на базе этого множества, удобно использовать n-кортежи неотрицательных целых чисел.

Упражнения. 1. Пусть задано мультимножество A=(m₁,....,m_n), m_i³0, 1£i£n. Доказать, что А имеет мультиподмножеств.

2. Пусть A=(m,...,m), где базовое множество содержит n элементов. Написать программу генерации всех мультиподмножеств А в лексикографическом порядке. заметим, что подобная генерация фактически совпадает с выводом всех чисел от 0 до mⁿ-1 d m-ричной позиционной системе.

3.Написать программу генерации всех мультиподмножеств А из предыдущего упражнения, при котором каждое последующее мультиподмножество отличается от предыдущего вставкой или удалением одного элемента. Генерация начинается с представления пустого множества. (Вначале постройте рекурсивный алгоритм генерации, например, воспользовавшись последовательностью

C₁0; C₂0;...; C_P0; C_P1;...; C₁1; C₁2;...; C_P2; C_P3;...,где р=mⁿ,

которая определяет генерацию мультимножеств (n+1)-го порядка. Затем постройте итеративный алгоритм, подобный SET3.)

Дата добавления: 2014-01-04