Регрессионная зависимость двух признаков

После установления достаточной степени тесноты связи выполняется построение модели связи (уравнение регрессии).

Чаще всего используются следующие типы функций: линейная, гиперболическая, параболическая, показательная.

Для определения численных значений параметров уравнения связи используется метод наименьших квадратов (МНК).

Модель простой двумерной регрессии может быть записана в следующей форме:

или

= f (x, а) + e _х ,

где у_х – значение признака Y при fix значении признака Х;

у^*_х = f (x, а) – теоретическое значение признака Y при фиксированном значении признака Х; а – неизвестный вектор параметров модели;

e_х – погрешность (ошибка) наблюдений; является ненаблюдаемой величиной.

Относительно e_х предполагают выполнение следующих требований:

1. .

2. < + ¥.

3. = 0, i ¹ j.

4. e_х ~ N(0, ).

Определим некоторое параметрическое семейство функций

f (x, а) = f (x, a ₀, …, a_p).

Коэффициенты a ₀, …, a_p находятся из условия минимизации суммы:

.

Линейная регрессия. Y = aX + b. Пусть имеется входной признак Х и результативный признак Y. Рассмотрим последовательность наблюдений (x_i, y_j) c абсолютной частотой m_ij, .

.

Тогда

, .

Дисперсия отклонения e определяется по формуле: .

Прогноз по модели тренда в точке вычисляется по формуле:

.

Нелинейная регрессия. Для определения адекватности модели (или меры нелинейной связи между переменными) используется коэффициент детерминации:

,

– объясненная дисперсия (вариация, обусловлена уравнением регрессии).

, – корреляционное отношение.

В случае линейной зависимости: . В остальных случаях всегда . Причем отклонение от линейности считается существенным, если .

Коэффициент детерминации показывает долю дисперсии исходного ряда, которая описывается моделью регрессии.

В ряде случаев можно перейти от нелинейной зависимости к линейной. Такой переход называется процессом линеаризации.

Дата добавления: 2014-01-04