Подобие в математическом моделировании

Математическое моделирование — это замещение оригинала математической моделью, обеспечивающей фиксацию и исследование свойств и отношений оригинала, а также переход к оригиналу с помощью математических методов.

Особое значение среди математических моделей имеют подобные, обеспечивающие перенос данных на оригинал на основании подобия.

Подобие — это полная математическая аналогия при наличии пропорциональности между сходственными переменными, неизменно сохраняющаяся при всех возможных значениях этих переменных, удовлетворяющих сходственным уравнениям.

Сходственные функции различаются только аргументами и не нулевыми постоянными. Среди функций

1. z=xcosy, 2. u=2ucos3w, 3. r=4s cos (5t+6), 4. q = 7p cos(8l+9)

сходственными являются первая и вторая, третья и четвертая.

Сходственные переменные — это переменные величины, входящие под знаки сходственных функций совершенно одинаковым образом. По аналогии с этим можно говорить и о сходственных постоянных. Сходственные функции x = a_l + a₂X₁ ln a₃X₂, и y = b₁ + b₂Y₁ ln b₃Y₂ содержат сходственные переменные х и у, X₁ и Y₁, X₂ и Y₂ и сходственные постоянные а₁ и b₁, а₂ и b₂, а₃ и b₃.

Сходственные уравнения получаются приравниванием нулю или друг другу сходственных функций.

Пример: Дифференциальные уравнения y¢₁+a₁y_l = a₂x, и y'₂+b₁y₂ = b₂z являются сходственными, если

В случае

уравнения не являются сходственными.

Математическое описание конкретного объекта (его расчетная модель) может иметь разнообразную форму. В самом простейшем случае это явная функция, выражающая переменную через ее аргументы х_i:

y=f{X₁,..., X_i,..., X_n) или сокращенно y=f(X_i), i = 1, 2,..., n.

В несколько более сложном случае это конечное уравнение:

F(y, X₁,..., X_i,..., X_n)=0 или сокращенно F(y, X_i)=0, i = 1, 2,..., n,

выражающее зависимость у=f(X_i) в неявной форме.

В еще более сложном случае это обыкновенное дифференциальное уравнение:

F(y, y', y",…y^{n},x_i, х_i', х_i",... х_i^{m}, t) = 0,

связывающее независимую переменную t, известные функции Xi= =Xi(t), неизвестную функцию y=y(t) и производные функций х_i, у. Если ввести оператор дифференцирования , то в символической форме:

F (у, Dy, D²y,..., Dⁿy; x_i, Dх_i, D²х_i,... D^mх_i; t) = 0

или сокращенно F(y, x_i, t, D)=0.

Наконец, математическим описанием может быть дифференциальное уравнение в частных производных

F{y, x_i, t₁,..., t_j,..., t_k; D₁,..., D_j,..., D_k) =0 или сокращенно

F(y, x_i, t_j, D_j, A_s) =0,

где и учтены постоянные коэффициенты A_s.

В самом общем случае под F можно понимать любой оператор, символизирующий совокупность некоторых действий, выполняемых над у, х_i, t_j, D_j.

Условия подобия

Два объекта подобны, если

1) они имеют сходственные математические описания:

F(y₁, x_1i, t_1j, D_1j, A_1s) =0

F(y₂, x_2i, t_2j, D_2j, A_2s) =0

где

y₁, y₂ и x_1i, x_2i — неизвестные и заданные функции независимых переменных t_1j, t_2j

2) сходственные переменные, содержащиеся в математических описаниях, связаны постоянными коэффициентами пропорциональности, которые называются масштабами или константами подобия

(2.3)

При условии (2.3) сходственные уравнения и функции, описывающие математические аналоги, а также содержащиеся в них сходственные переменные называются подобными. Подобные функции могут быть изображены в пространстве подобных переменных одной и той же кривой или поверхностью.

Пример: Сходственные функции у₁ = х₁² и у₂ = 8х₂² подобны, если m_y = y₁/y₂ = 2, m_х=х₁/х₂=4.

При этих условиях для них справедлива зависимость на рис. 2,а.

Если принять m_y =4, m_х = 4, то сходственные функции y₁ и у₂ не будут подобными и их графические изображения не совпадают (рис. 2,б).

Рис. 2. Сходственные функции при наличии (а) и отсутствии (б) подобия.

Особыми частными случаями являются геометрическое, физическое и временное подобие.

Геометрическое подобие — это подобие геометрических образов: точек, линий, поверхностей, фигур, тел.

Физическое подобие означает подобие физически однородных объектов. Все масштабы являются при этом безразмерными величинами.

Временное подобие — подобие функций времени.

В теории и практике подобие имеет большее значение, чем аналогия. При аналогии двух объектов распространение свойств одного на другой носит характер предположения и нуждается в проверке. При подобии двух объектов знание поведения одного из них означает знание поведения другого. Если, например, имеются две подобные САУ, то, установив время переходного процесса одной из них t₁ и зная временной масштаб m_t, можно найти время переходного процесса другой системы t₂=t₁/m_t.

Пример. Став обладателями атомной бомбы, американцы в пропагандистских целях сняли устрашающий кинофильм о распространении ударной волны и огненного шара, возникающих при взрыве. Просматривая этот фильм, один любознательный американец установил, что за некоторое время t волна распространяется на расстояние R. Располагая этими данными, выполнив анализ размерностей определяющих величин и получив единственный критерий подобия t²Wr^-1R^-5»1, он вычислил энергию взрыва W — секретную характеристику атомной бомбы.

Дата добавления: 2014-01-04