Эквивалентное значение для потока платежей

Допустим, что мы имеем дело не с одной выплатой, а с множеством распределенных во времени платежей. Для каждой выплаты из этого множества легко найти эквивалентное значение. Возникает вопрос: как определить эквивалентное значение для множества выплат в целом? Ясно, что это значение должно зависеть от процентной ставки и момента времени, для которого это значение определяется. При этом эквивалентная сумма и сама последовательность выплат должны быть равноценны. Кроме того, при добавлении (исключении) одной выплаты эквивалентное множеству значение должно увеличиваться (уменьшаться) на эквивалентное добавленной (исключенной) выплате значение в соответствующий момент времени.

Следующее определение удовлетворяет всем, приведенным требованиям. Эквивалентным множеству распределенных во времени выплат значением по ставке сложных процентов i в фиксированный момент времени называется сумма приведенных к этому моменту эквивалентных по ставке i значений выплат указанного множества. Приведенное определение иллюстрируется рисунком 4.

Рис. 4

Из рис. 4 видно, что

Итак, величина S_k является эквивалентным по ставке i в момент k значением для множества, состоящего из n выплат с интервалом в один год.

Пример.

Для множества, состоящего из трех последовательных выплат в размере 25000 рублей каждая, ожидаемых через год, три года, пять лет, найти эквивалентное по ставке 10% годовых значение:

а) сегодня;

б) через два года;

в) через пять лет.

Решение.

Рис. 5

Справедливо следующее свойство эквивалентности: если два значения эквивалентны по фиксированной ставке сложных процентов одному и тому же множеству выплат для различных моментов времени, то они эквивалентны друг другу по той же ставке.

Докажем это свойство для множества, состоящего из двух выплат (см. рис. 6).

Рис. 6

Пусть U эквивалентно множеству выплат {А, В} по ставке i в момент t₁,. а V эквивалентно этому множеству по ставке i в момент t_2. Запишем уравнения эквивалентности для t₁

и для t₂

Умножая первое равенство на и сравнивая его со вторым, получим

Следовательно, Uи V эквивалентны по ставке i.

Пример.

Долг должен быть выплачен двумя платежами: 49000 рублей в конце первого года и 115000 рублей в конце четвертого года. Найти эквивалентную этим выплатам сумму единовременного платежа при начислении процентов по ставке 28% годовых:

а) сегодня:

б) в конце третьего года.

Рис. 7

Дата добавления: 2014-01-04