КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Исключение грубых ошибок при измерениях
В процессе обработки экспериментальных данных следует исключать грубые ошибки ряда. Появление этих ошибок вполне вероятно, а наличие их ощутимо влияет на результат измерений. Однако прежде чем исключить то или иное измерение, необходимо убедиться, что это действительно грубая ошибка, а не отклонение вследствие статистического разброса. Известно несколько методов определения грубых ошибок статистического ряда. Наиболее простым способом исключения из ряда резко выделяющегося измерения является правило трех сигм: разброс случайных величин от среднего значения не должен превышать хmin.max = х ± 3σ. (10) Более достоверными являются методы, базируемые на использовании доверительного интервала. Пусть имеется статистический ряд малой выборки, подчиняющийся закону нормального распределения. При наличии грубых ошибок критерии их появления вычисляются по формулам
β1 = (хmax – х)/σ ((n – 1)/n)1/2;
β2 = (х – хmin)/σ ((n – 1)/n)1/2, (11) где хmax, xmin - наибольшее и наименьшее значения из n измерений. В табл. 3 приведены в зависимости от доверительной вероятности максимальные значения βmax, возникающие вследствие статистического разброса. Если β1 > βmax, то значение хmах необходимо исключить из статистического ряда как грубую погрешность. При β2 < βmax исключается величина хmin. После исключения грубых ошибок определяют новые значения х и σ из (п - 1) или (п - 2) измерений. Второй метод установления грубых ошибок основан на использовании критерия В. И. Романовского и применим также для малой выборки. Методика выявления грубых ошибок сводится к следующему. Задаются доверительной вероятностью рд и по табл. 4 в зависимости от n находится коэффициент q. Вычисляют предельно допустимую абсолютную ошибку отдельного измерения
εпр = σq (12) Если х – xmах > εпр, то измерение xmax исключают из ряда наблюдений. Этот метод более требователен к очистке ряда. При анализе измерений можно применять для приближенной оценки и такую методику: вычислить по (1) среднеквадратичное отклонение σ; определить с помощью (5) σо; принять доверительную вероятность рд и найти доверительные интервалы µст из (8); окончательно установить действительное значение измеряемой величины хд по формуле (9). В случае более глубокого анализа экспериментальных данных рекомендуется такая последовательность: 1) после получения экспериментальных данных в виде статистического ряда его анализируют и исключают систематические ошибки; 2) анализируют ряд в целях обнаружения грубых ошибок и промахов: устанавливают подозрительные значения хmax или хmin; определяют среднеквадратичное отклонение σ; вычисляют по (11) критерии β1, β2 и сопоставляют с βmax, βmin, исключают при необходимости из статистического ряда хмах или хmin и получают новый ряд из новых членов; 3) вычисляют среднеарифметическое х, погрешности отдельных измерений (х - xi) и среднеквадратичное очищенного ряда σ; 4) находят среднеквадратичное σo серии измерений, коэффициент вариации кв; 5) при большой выборке задаются доверительной вероятностью рд = φ(t) или уравнением значимости (1 - рд) и по табл. 1 определяют t; 6) при малой выборке (n ≤ 30) в зависимости от принятой доверительной рд и числа членов ряда Стьюдента αст; с помощью формулы (2) для большой выборки или (8) для малой выборки определяют доверительный интервал; 7) устанавливают по (9) действительное значение исследуемой величины; 8) оценивают относительную погрешность (%) результатов серии измерений при заданной доверительной вероятности рд:
δ = (δоα ст /х)100. (13)
Если погрешность серии измерений соизмерима с погрешностью прибора Впр, то границы доверительного интервала µст = (σ2 оα2 + (α ст (∞)/3)2 )1/2 (14) Формулой (14) следует пользоваться при αстσо ≤ ЗВпр. Если же αстσо > ЗВпр, то доверительный интервал вычисляют с помощью (1) или (9). Пусть, например, имеется 18 измерений (табл.5). Если анализ средств и результатов измерений показал, что систематических ошибок в эксперименте не обнаружено, то можно выяснить, не содержат ли измерения грубых ошибок. Если воспользоваться первым методом (критерий βmax), то надо вычислить среднеарифметическое х и отклонение σо. При этом удобно пользоваться формулой x = x' + (хi — х')/n, где х' - среднее произвольное число. Для вычисления х, например, принять произвольно х'=75. Тогда х – 75 - 3/18 = 74,83. В формуле (1) значение (х-хi)2 можно найти упрощенным методом: (х - xi)2 = ∑ (xi - х') - (xi - х')2 /n. В данном случае (xi - х')2 = 737 - 32/18=736,5. По (1) σ = 736,5/(18 - 1) = 6,58, коэффициент вариации Kв = (6,58/74,83) 100 = 8,8%. Следовательно, β1 = 2,68. Как видно из табл.3, при доверительной вероятности рд = 0,99 и n =18 βmax = 2,90. Поскольку 2,68 < βmaх, измерение 92 не является грубым промахом. Если рд = 0,95, βmах = 2,58, то значение 92 следует исключить. Если применить правило 3σ, то xmax, min = 74,83 ±З·6,58 = 94,6...55,09, т.е. измерение 92 следует оставить. В случае, когда измерение 92 исключается, х = 73,8, σ = 5,15. Среднеквадратичное отклонение для всей серии измерений при n = 18 σо = 6,58/18 = 1,55; при очищенном ряде σо =5,15 /17 = 1,25. Поскольку n<30, ряд следует отнести к малой выборке и доверительный интервал вычисляется с применением коэффициента Стьюдента αст. По табл.2 принимается доверительная вероятность 0,95 и тогда αст = 2,11 в случае n = 18; αст = 2,12, если n = 17. Доверительный интервал при n =18 µст = ± 1,55·2,11 = 3,2; при n =17 µст = ± 1,25·2,12 = 2,7. Действительное значение изучаемой величины: при n =18 xд= 74,8±3,2; при n = 17 xд = 73,8±2,7. Относительная погрешность результатов серии измерений: при n = 18 δ = (3,2·100)/74,8 = 4,3%; при n =17 δ = (2,7· 100)/73,8 = 3,7 %. Таким образом, если принять xi = 92 за грубый промах, то погрешность измерения уменьшается с 4,3 до 3,7 %, т. е. на 14 %. Если необходимо определить минимальное количество измерений при их заданной точности, проводят серию опытов, вычисляют σ, затем с помощью формулы (7) определяют Nmin.
В рассмотренном случае σ = 6,58; kв = 8,91 %. Если задана точность Δ = 5 и 3 % при доверительной вероятности рд = 95%, αст = 2,11. Следовательно, при Δ = 5% Nmin = (8,912.2,ll2)/52 = 14, а при Δ = 3% Nmin = (8,912·2,112)/52 = 40. Таким образом, требование повышения точности измерения (но не выше точности прибора) приводит к значительному увеличению повторяемости опытов. Во многих случаях в процессе экспериментальных исследований приходится иметь дело с косвенными измерениями. При этом неизбежно в расчетах применяют те или иные функциональные зависимости типа Y = f(x1,x2…, xn) (15)
Таблица 3. Критерии появления грубых ошибок
Так как в данную функцию подставляют не истинные, а приближенные значения, то и окончательный результат также будет приближенным. В связи с этим одной из основных задач теории случайных ошибок является определение ошибки функции, если известны ошибки их аргументов. При исследовании функции одного переменного предельные абсолютные εпр и относительные δпр ошибки (погрешности) вычисляют так: εпр = ± εхf'(x), (16) δпр = ± d ln (x), (17) где f'(x) - производная функции f(x); dln(х) - дифференциал натурального логарифма функции. Если исследуется функция многих переменных, то εпр = ± ∑|(ðf(x1,x2,...,xn)/ðxi)dxi|, (18) δпp = ± d|ln(x1,x2,...,xn)|. (19) В (18) и (19) выражения под знаком суммы и дифференциала принимают абсолютные значения. Методика определения ошибок с помощью этих уравнений следующая: вначале определяют абсолютные и относительные ошибки аргументов (независимых переменных). Обычно величина хд ± ε каждого переменного измерена, следовательно, абсолютные ошибки для аргументов известны, т.е. εx1, εx2,…, εxn. Затем вычисляют относительные ошибки независимых переменных:
δ x1 = εx1/xд; δ х2 = εх2 /хд ,…, δ xn = εxn /xд. (20)
Находят частные дифференциалы функции и по формуле (18) вычисляют εпр в размерностях функции f(y) и с помощью (19) вычисляют δпр, %.
Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 4361; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |