Особенности фиксации и статистической обработки результатов моделирования систем на ЭВМ

ОБРАБОТКА И АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ СИСТЕМ

Успех имитационного эксперимента с моделью системы существенным образом зависит от правильного решения вопросов обработки и последующего анализа и интерпретации результатов моделирования. Особенно важно решить проблему текущей обработки экспериментальной информации.

Особенности машинных экспериментов. После того как машинный эксперимент спланирован, необходимо предусмотреть меры по организации эффективной обработки и представления его результатов.

При выборе методов обработки существенную роль играют три особенности машинного эксперимента с моделью системы S:

1) большие выборки позволяют количественно оценить характеристики процесса функционирования системы, но появляется серьезная проблема хранения промежуточных результатов моделирования. Эту проблему можно решить, используя рекуррентные алгоритмы обработки, когда оценки вычисляют по ходу моделирования, причем большой объем выборки дает возможность пользоваться при этом достаточно простыми для расчетов на ЭВМ асимптотическими формулами;

2) априорное суждение о характеристиках процесса функционирования системы, например, о типе ожидаемого распределения выходных переменных, является невозможным из-за сложности исследуемой системы. Поэтому при моделировании систем широко используются непараметрические оценки и оценки моментов распределения;

3) блочность конструкции машинной модели М_м и раздельное исследование блоков связаны с программной имитацией входных переменных для одной частичной модели по оценкам выходных переменных, полученных на другой частичной модели.

Методы оценки. Рассмотрим наиболее удобные для программной реализации методы оценки распределений и некоторых их моментов при достаточно большом объеме выборки (числе реализаций N). Математическое ожидание и дисперсия случайной величины x соответственно имеют вид:

;

,

где f (x) – плотность распределения случайной величины x, принимающей значения х.

При проведении имитационного эксперимента со стохастической моделью системы S определить эти моменты нельзя, так как плотность распределения, как правило, априори неизвестна. Поэтому при обработке результатов моделирования получают лишь некоторые оценки моментов, полученные на конечном числе реализации N. При независимых наблюдениях значений случайной величины x в качестве таких оценок используются

;

,

где и – выборочное среднее и выборочная дисперсия соответственно. Знак ~ над и означает, что эти выборочные моменты используются в качестве оценок математического ожидания m_x и дисперсии .

К качеству оценок, полученных в результате статистической обработки результатов моделирования, предъявляются следующие требования:

1) несмещенность оценки, т.е. равенство математического ожидания оценки определяемому параметру M [ ] = g, где – оценка переменной (параметра) g;

2) эффективность оценки, т.е. минимальность среднего квадрата ошибки данной оценки M [ – g ]£ M [( – g)²], где – рассматриваемая оценка; – любая другая оценка;

3) состоятельность оценки, т.е. сходимость по вероятности при N ®¥ к оцениваемому параметру, либо, учитывая неравенство Чебышева, достаточное (но не обязательно необходимое) условие выполнения этого неравенства заключается в том, чтобы.

Рассмотрим оценку выборочного среднего значения . Математическое ожидание выборочного среднего значения x составит

,

т. е. оценка = является несмещенной.

С учетом независимости значений x_i средний квадрат ошибки

,

т.е. оценка = состоятельна. Можно показать, что эта оценка также и эффективна.

Рассмотрим оценку выборочной дисперсии . Математическое ожидание выборочной дисперсии

.

Учитывая, что

получим M []=(N – 1) /N, т.е. оценка = является смещенной. Можно показать, что эта оценка состоятельна и эффективна.

Несмещенную оценку дисперсии можно получить, вычисляя выборочно дисперсию вида

.

Эта оценка также удовлетворяет условиям эффективности и состоятельности.

Статистические методы обработки. Рассмотрим некоторые особенности статистических методов, используемых для обработки результатов моделирования системы S. Для случая исследования сложных систем при большом числе реализации N в результате моделирования на ЭВМ получается значительный объем информации о состояниях процесса функционирования системы. Поэтому необходимо так организовать в процессе вычислений фиксацию и обработку результатов моделирования, чтобы оценки для искомых характеристик формировались постепенно по ходу моделирования, т.е. без специального запоминания всей информации о состояниях процесса функционирования системы S.

Если при моделировании процесса функционирования конкретной системы S учитываются случайные факторы, то и среди результатов моделирования присутствуют случайные величины. В качестве оценок для искомых характеристик рассчитывают средние значения, дисперсии, корреляционные моменты и т.д.

Пусть в качестве искомой величины фигурирует вероятность некоторого события А. В качестве оценки для искомой вероятности р=Р (А) используется частость наступления события m / N, где т – число случаев наступления события А; N – число реализаций. Такая оценка вероятности появления события А является состоятельной, несмещенной и эффективной. В случае необходимости получения оценки вероятности в памяти ЭВМ при обработке результатов моделирования достаточно накапливать лишь число т (при условии, что N задано заранее).

Аналогично при обработке результатов моделирования можно подойти к оценке вероятностей возможных значений случайной величины, т.е. закона распределения. Область возможных значений случайной величины h разбивается на п интервалов. Затем накапливается количество попаданий случайной величины в эти интервалы m_k, . Оценкой для вероятности попадания случайной величины в интервал с номером k служит величина m_k / N. Таким образом, при этом достаточно фиксировать n значений m_k при обработке результатов моделирования на ЭВМ.

Для оценки среднего значения случайной величины h накапливается сумма возможных значений случайной величины у_k, , которые она принимает при различных реализациях. Тогда среднее значение

.

При этом ввиду несмещенности и состоятельности оценки

М [] = М [h] = m_h; D [] = D [h]/ N = / N.

В качестве оценки дисперсии случайной величины h при обработке результатов моделирования можно использовать

.

Непосредственное вычисление дисперсии по этой формуле нерационально, так как среднее значение изменяется в процессе накопления значений у_k. Это приводит к необходимости запоминания всех N значений у_k. Поэтому более рационально организовать фиксацию результатов моделирования для оценки дисперсии с использованием следующей формулы:

.

Тогда для вычисления дисперсии достаточно накапливать суммы: значений y_k и их квадратов .

Для случайных величин x и h с возможными значениями x_k и y_k корреляционный момент

или

.

Последнее выражение вычисляется при запоминании в процессе моделирования небольшого числа значений.

Если при моделировании системы S искомыми характеристиками являются математическое ожидание и корреляционная функция случайного процесса y (t) (в интервале моделирования [0,Т]), для нахождения оценок этих величин указанный интервал разбивают на отрезки с постоянным шагом D t и накапливают значения процесса y_k (t) для фиксированных моментов времени t=t_m=m D t.

При обработке результатов моделирования математическое ожидание и корреляционную функцию запишем так:

;

,

где и и z пробегают все значения t_m.

Для уменьшения затрат машинных ресурсов на хранение промежуточных результатов последнее выражение также целесообразно привести к следующему виду:

Дата добавления: 2014-01-04