Ковариация

.

Достаточным условием неотрицательности ковариации, дающим выигрыш в оценке разности средних, является одинаковая упорядоченность условных средних , относительно векторного аргумента , т.е. выполнение неравенства

(7.1)

для любых значений векторных аргументов , .

Действительно, учитывая, что, находим

Так как f ()>0 для всех v, то при выполнении (7.1)имеем В ₁₂³0, что и требовалось доказать.

Когда в качестве результатов моделирования выступают вероятности событий A ₁, А ₂ для вариантов S ₁ и S ₂ системы, то условные значения

,

,

где – условная вероятность, i =1, 2.

Тогда достаточное условие неотрицательности ковариации запишется в виде

³0, (7.2)

что соответствует одинаковой упорядоченности условных вероятностей и относительно векторного аргумента .

Одинаково упорядоченными являются монотонно возрастающие или монотонно убывающие функции m₁(v) и m₂(v) скалярного аргумента v, а также одинаковые функции m₁(v)=m₂(v) независимо от их монотонности. Пример одинаково упорядоченных возрастающих (а) и убывающих (б) функций m(v) показан на рис. 7.3.

а б

m m

m₁ m₂

m₁

m₂

n n

Рис.7.3. Пример одинаково упорядоченных функций

Если положительные функции m _j (), , одинаково упорядочены, то произведение любой комбинации этих функций m _k ()m _s ()…m _m () одинаково упорядочено с произведением любой комбинации m _l ()m _q ()…m _p (). Это же можно сказать и об условных вероятностях P (A_j/ ), .

Пример 7.4. Пусть методом статистического моделирования на ЭВМ необходимо сравнить результаты моделирования двух вариантов S ₁ и S ₂ системы, составленных из одинаковых блоков B ₁ – B ₄ (структура системы показана на рис. 7.4) и сравниваемых по критерию надежности с учетом случайных изменений внешней температуры. События A ₁ и A ₂ соответствуют безотказной работе вариантов S ₁ и S ₂ системы в течение заданного времени Т. Вероятность безотказной работы B_i при заданной температуре v можно определять как

,

где l_i (v) - интенсивности отказов, являющиеся возрастающими функциями температуры.

S ₁ S ₂

Рис. 7.4. Структуры сравниваемых вариантов систем S ₁ и S ₂

Таким образом, функции P (B_i / v) являются одинаково упорядоченными убывающими функциями. Можно показать, что функции

также одинаково упорядочены и убывают с ростом температуры v. Поэтому, используя при машинном эксперименте с вариантами S ₁ и S ₂ системы одни и те же реализации v случайной температуры v, получим в результате моделирования большую точность сравнения вероятностей Р (А ₁) и Р (А ₂), чем при раздельном моделировании S ₁ и S ₂ системы с использованием независимых реализаций v.

Рассмотренный пример можно обобщить и на случай векторного аргумента, например, для набора таких переменных, как температура, давление, ускорение и т.п.

Когда независимые компоненты в воздействиях внешней среды Е отсутствуют, т.е. ₁ = ₂ = , условные средние m₁= M [ q ₁/], m₂= M [ q ₂/] преобразуются в детерминированные зависимости критериев от случайных воздействий q ₁= f ₁(), q ₂= f ₂().

При этом условия одинаковой упорядоченности становятся еще более жесткими.

Так, например, условия (7.2) выполняются лишь тогда, когда для всех значений исключено одно из состояний: A ₁₂ или ₁ А ₂. Другими словами, положительная корреляция B ₁₂ и связанные с ней преимущества гарантируются лишь тогда, когда вариант системы S ₁ равномерно лучше (хуже) варианта S ₂. В принятых в п. 6. 3 обозначениях это соответствует p_C = 0 или p_D = 0.

Состояния C = A ₁₂ или D =₁ А ₂ вариантов систем S ₁ и S ₂ возможны лишь при наличии двух неисправных блоков В_i, , состояние A = A ₁ A ₂ возможно при отсутствии неисправностей или при одной неисправности, а состояние В = ₁₂ при трех или четырех неисправностях. Обозначив через _{i j} ситуацию с неисправностями блоков B_i и B_j, находим соответствие между состояниями и убеждаемся в отсутствии состояния D.

Следует помнить, что условия одинаковой упорядочен-
ности (7.1) и (7.2) являются достаточными, но не необходимыми и достаточными условиями неотрицательности корреляции. Поэтому, обнаружив в конкретной схеме проведения имитационного эксперимента нарушениеэтих условий при некоторых реализациях входных воздействий , следует более детально рассмотреть процедуру сравнения средних значений или вероятностей. Например, при сравнении вероятностей, задаваясь значениями D p = p ₁ – p ₂, p_A и p_D, необходимо рассчитать значения
р ₂ = р_A+р_D, р ₁ = p ₂+Dp, р_C = p_D +D р и вычислить коэффициенты корреляции и «выигрыша» соответственно:

;

,

где N _н, и N _з – объемы выборки, необходимые для получения заданной точности оценки D р при использовании независимых и зависимых реализаций.

Таким образом, использование зависимых испытаний дает возможность значительно сократить затраты машинного времени на моделирование. Рассмотренная методика сравнения характеристик вариантов при синтезе системы с учетом их корреляции является формальной. Однако основа для получения с помощью этой методики практических преимуществ – неформальная операция выбора такой схемы имитации, при которой искусственно создавалась бы требуемая корреляция.

Оценка результатов моделирования системы. Рассмотрим возможность оценки при обработке результатов моделирования абсолютных значений характеристик процесса функционирования системы S. Пусть исследование одного из вариантов системы, например S₂, выполнено аналитическим методом и определено среднее значение m₂ критерия q ₂. Тогда оценка = m₂ – d среднего значения m₁ имеет дисперсию

D [] = D [] = (D []+ D [])/g_m = (1+a) D []/g_m,

где g_m – коэффициент выигрыша, получаемого при оценке разности средних значений d = m₂ – m₁ за счет зависимости испытаний; a = D []/ D []. Оценка точнее, если (1+a)/g_m<1.

Однако затраты машинного времени для получения оценки , которые обозначим как t ₁₂, превышают при заданном N затраты машинного времени t ₁, необходимого для автономной оценки . Поэтому при заданной точности оценки среднего оценка дает выигрыш по затратам машинного времени на имитацию только в том случае, если (1+a) t ₁₂/(g_m t ₁)<1.

Для нормально распределенных критериев q ₁ и q ₂ оценка дисперсии = D ₂+D. Выигрыш в затратах машинного времени на имитационное моделирование по сравнению с автономной оценкой будет лишь при условии (1+a) t ₁₂/(g _Dt ₁)<1, где g _D – коэффициент выигрыша, получаемого при оценке разности дисперсии Dза счет зависимых испытаний.

Рассмотренные методы сравнения вариантов S ₁ и S ₂ моделируемой системы можно использовать в алгоритмах оптимизации на этапе проектирования системы S, т.е. при ее синтезе, по результатам имитационного эксперимента с ее машинной моделью М_м.

При синтезе системы S на основе проведения машинных экспериментов с моделью М_м возникает задача анализа чувствительности модели к вариациям ее параметров. Под анализом чувствительности машинной модели М_м понимают проверку устойчивости результатов моделирования, т.е. характеристик процесса функционирования системы S, полученных при проведении имитационного эксперимента, по отношению к возможным отклонениям параметров машинной модели от истинных их значений .

Анализ чувствительности позволяет сравнивать методические погрешности, полученные при построении машинной модели М_м, с неточностями задания исходных данных, что особенно важно при практической реализации для целей синтеза системы S.

Малым отклонениям будут соответствовать изменения характеристик , которые в практических расчетах можно оценить величиной

,

где ; r ₀ – остаточный член второго порядка малости относительно вариации, который используется для проверки точности решения.

Частная производная определяется в точках, соответствующих номинальным значениям параметров . Если , где
– оптимальные параметры системы по показателю , то =0 и необходимо проводить оценку с использованием второй производной . Таким образом, частные производные , количественно характеризуют чувствительность машинной модели М_м к изменениям ее параметров.

Большие отклонения характеристик при малых вариациях свидетельствуют о неустойчивости модели М_м по отношению к этим вариациям. Для получения оценок показателя удобно рассматривать зависимые реализации внешних воздействий при различных и проводить соответствующую обработку результатов машинного эксперимента с моделью М_м.

Таким образом, результаты машинного эксперимента с моделью М_м обрабатываются с учетом целей моделирования системы S, которые находятся в тесной связи с вопросами, решаемыми при планировании экспериментов. При синтезе системы S на базе машинной модели М_м необходимо принять меры по организации зависимых испытаний анализируемых вариантов системы и оценке чувствительности модели к вариации ее параметров, что позволит упростить работу с моделью на каждом шаге оптимизации.

Дата добавления: 2014-01-04