Момент инерции

Из определения момента инерции

I= (8.8)

следует, что эта величина аддитивна. Это означает, что момент инерции тела относительно некоторой оси равен сумме моментов инерции частей тела относительно той же оси.

Поэтому суммирование в выражении для момента инерции должно быть заменено интегрированием:

I=. (8.9)

С учетом dm=rdV, получим формулу

I= (8.10)

где r - плотность тела в точке, в которой взят объем dV, R – расстояние этого объема от оси, относительно которой вычисляется момент.

Если тело однородно, плотность r во всех его точках одинакова и ее можно вынести за знак интеграла:

I=r (8.11)

Вычисление интеграла (8.11), а тем более интеграла (8.10) представляет собой сложную задачу. Дело значительно упрощается в случае однородных осесимметричных тел. В качестве примера найдем момент инерции однородного цилиндра относительно его геометрической оси ОО (рис. 8.5). Разобьем цилиндр на слои радиуса R и толщины dR. Масса такого слоя равна dm=rdV=r×2pRhdR (dV – объем слоя). Все точки слоя отстоят от оси ОО на одинаковое расстояние R. Поэтому вклад слоя в момент инерции равен

dI=rR²dV=rR²×2pRh dR=2prhR³dR.

Проинтегрировав это выражение по R в пределах от 0 до r (r – радиус цилиндра), получим искомый момент инерции:

I=2prh2prhrhpr²×r²=mr² (8.12)

(m=rhpr² – масса цилиндра). Отметим, что полученное выражение не зависит от высоты цилиндра h. Следовательно, формула (8.12) определяет и момент инерции тонкого диска относительно перпендикулярной к нему проходящей через его центр оси.

Рассмотрим произвольное тело и две параллельные друг другу оси, одна из которых (ось С) проходит через центр масс тела, а другая (ось О) отстоит от первой на расстоянии а (рис. 8.6). Выберем оси координат x, y и x^I, y^I так, как показано на рисунке.

Момент инерции I относительно оси О определяется выражением

I=

Разобьем это выражение на три суммы:

I=

Первая сумма представляет собой момент инерции I_c относительно оси, проходящей через центр масс. Сумма дает массу тела m. Наконец, =x_cm, где x_с – координата центра масс, которая при сделанном выборе начала координат равна нулю. Таким образом, мы приходим к соотношению

I=I_c+ma². (8.13)

Это соотношение выражает теорему Штейнера, которая гласит, что момент инерции относительно произвольной оси равен сумме момента инерции относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями. Теорема Штейнера сводит вычисление момента инерции относительно произвольной оси к вычислению момента инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела.

Вычислим момент инерции тонкого однородного стержня массы m и длины l относительно перпендикулярной к нему оси ОО, проходящей через его конец (рис.8.7). Заметим, что стержень можно считать тонким. Если максимальный поперечный размер его много меньше длины l. В соответствии с формулой (8.9)

I= (8.14)

С помощью теоремы Штейнера можно найти момент инерции I_c стержня относительно перпендикулярной к нему оси, проходящей через его центр. Согласно (8.13)

I=I_c+m(

Откуда

I_c=ml². (8.15)

Наконец приведем без вывода значение момента инерции однородного шара относительно оси, проходящей через его центр:

I=mr² (8.16)

(m – масса, а r – радиус шара).

Дата добавления: 2014-01-04