Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Уравнения плоской и сферической волн

Уравнением волны называется выражение, которое дает смещение колеблющейся частицы как функцию ее координат х, у, z и времени t:

x=x(x, y, z; t) (11.3)

(имеются в виду координаты равновесного положения частицы). Эта функция должна быть периодической как относительно времени t, так и относительно координат x, y, z. Периодичность по времени вытекает из того, что x описывает колебания частицы с координатами x, y, z. Периодичность по координатам следует из того, что точки, отстоящие друг от друга на расстояние l, колеблются одинаковым образом.

Найдем вид функции x в случае плоской волны, предполагая, что колебания носят гармонический характер. Для упрощения направим оси координат так, чтобы ось х совпала с направлением распространения волны. Тогда волновые поверхности будут перпендикулярными к оси х и, поскольку все точки волновой поверхности колеблются одинаково, смещение x будет зависеть только от х и t: x=x(х, t). Пусть колебания точек, лежащих в плоскости х=0 имеют вид

x(0, t)=а cos (wt+a).

Найдем вид колебания точек в плоскости, соответствующей произвольному значению х. Для того, чтобы пройти путь от плоскости х=0 до этой плоскости, волне требуется время t=х/v (v – скорость распространения волны). Следовательно, колебания частиц, лежащих в плоскости х, будут отставать по времени на t от колебаний частиц в плоскости х=0, т.е. будут иметь вид

x(х, t)=a cos [w(t-t)+a]=a cos[w(t-)+a].

Итак, уравнение плоской волны (и продольной, и поперечной), распространяющейся в направлении оси х, выглядит следующим образом:

x(х, t)=a cos[w(t-)+a] (11.4)

Величина а представляет собой амплитуду волны. Начальная фаза волны a определяется выбором начала отсчета х и t. При рассмотрении одной волны начала отсчета времени и координаты обычно выбираются так, чтобы a была равна нулю. При совместном рассмотрении нескольких волн сделать так, чтобы для всех них начальные фазы равнялись нулю, как правило, не удается.

Зафиксируем какое-либо значение фазы, стоящей в уравнении (11.4), положив

w(t-)+a=const. (11.5)

Это выражение определяет связь между временем t и тем местом х, в котором фаза имеет зафиксированное значение. Вытекающее из него значение dx/dt дает скорость, с которой перемещается данное значение фазы. Продифференцировав выражение (11.5), получим

dt-,

откуда

(11.6)

Таким образом, скорость распространения волны v в уравнении (11.4) есть скорость перемещения фазы, в связи с чем ее называют фазовой скоростью.

Согласно (11.6) dx/dt >0. Следовательно, уравнение (11.4) описывает волну, распространяющуюся в сторону возрастания х. Волна, распространяющаяся в противоположном направлении, описывается уравнением

x(х, t)=a cos[w(t+)+a]. (11.7)

Действительно, приравняв константе фазу волны (11.7) и продифференцировав получивщееся равенство, придем к соотношению из которого следует, что волна (11.7) распространяется в сторону убывания х.

Уравнению плоской волны можно придать симметричный относительно х и t вид. Для этого введем величину

к = (11.8)

которая называется волновым числом. Умножив числитель и знаменатель (11.8) на частоту n, можно представить волновое число в виде

к = (11.9)

(см. формулу (11.2)). Раскрыв в (11.4) круглые скобки и приняв во внимание (11.9), придем к следующему уравнению плоской волны, распространяющейся вдоль оси х:

x=a cos(wt- к х+a). (11.10)

Уравнение волны, распространяющейся в сторону убывания оси х, отличается от (11.10) только знаком при члене к х.

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Распространение волн в упругой среде | Волновое уравнение
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 312; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.013 сек.