КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Определители квадратной матрицы и их свойства
Ключевые понятия План ЛЕКЦИЯ 2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
1. Определители квадратной матрицы и их свойства. 2. Теоремы Лапласа и аннулирования.
Алгебраическое дополнение элемента определителя. Минор элемента определителя. Определитель второго порядка. Определитель третьего порядка. Определитель произвольного порядка. Теорема Лапласа. Теорема аннулирования.
Пусть А – квадратная матрица порядка n:
А=.
Каждой такой матрице можно поставить в соответствие единственное действительное число, называемое определителем (детерминантом) матрицы и обозначаемое
= det A= Δ=.
Отметим, что определитель существует только для квадратных матриц. Рассмотрим правила вычисления определителей и их свойства для квадратных матриц второго и третьего порядка, которые будем называть для краткости определителями второго и третьего порядка соответственно. Определителем второго порядка матрицы называется число, определяемое по правилу:
==– , (1)
т. е. определитель второго порядка есть число, равное произведению элементов главной диагонали минус произведение элементов побочной диагонали. Пример. =, тогда == 4 · 3 – (–1) · 2=12 + 2 = 14.
Следует помнить, что для обозначения матриц используют круглые или квадратные скобки, а для определителя – вертикальные линии. Матрица – это таблица чисел, а определитель – число. Из определения определителя второго порядка следуют его свойства: 1. Определитель не изменится при замене всех его строк соответствующими столбцами:
=.
2. Знак определителя меняется на противоположный при перестановке строк (столбцов) определителя:
= – , = – .
3. Общий множитель всех элементов строки (столбца) определителя можно вынести за знак определителя:
=или =.
4. Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя равны нулю, то определитель равен нулю.
5. Определитель равен нулю, если соответствующие элементы его строк (столбцов) пропорциональны:
=0, = 0.
6. Если элементы одной строки (столбца) определителя равны сумме двух слагаемых, то такой определитель равен сумме двух определителей:
=+, =+.
7. Значение определителя не изменится, если к элементам его строки (столбца) прибавить (вычесть) соответственные элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и тоже число :
=+=,
так как =0 по свойству 5.
Остальные свойства определителей рассмотрим ниже. Введем понятие определителя третьего порядка: определителем третьего порядка квадратной матрицы называется число
Δ == det A= =
=++– – – , (2)
т. е. каждое слагаемое в формуле (2) представляет собой произведение элементов определителя, взятых по одному и только одному из каждой строки и каждого столбца. Чтобы запомнить, какие произведения в формуле (2) брать со знаком плюс, а какие со знаком минус, полезно знать правило треугольников (правило Саррюса):
Пример. Вычислить определитель ==
==
=. Следует отметить, что свойства определителя второго порядка, рассмотренные выше, без изменений переносятся на случай определителей любого порядка, в том числе и третьего.
Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 478; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |