Решение. Запишем матрицу А системы уравнений и определим ее ранг:

Запишем матрицу А системы уравнений и определим ее ранг:

.

Так как (третья строка определителя является суммой первых двух строк), то r(A)< 3. Рассмотрим какой-либо минор

второго порядка:

Рассмотрим расширенную матрицу системы: .

Найдем ее ранг. Существуют 4 различных минора третьего порядка:

, , , .

Легко проверить, что все эти миноры равны нулю (в каждом из них третья строка есть сумма первых двух строк). Поэтому r (С) < 3. Так как выше рассмотренный минор второго порядка принадлежит и матрице С, то

, и по теореме Кронекера-Капелли исходная система уравнений совместна (r(A) = r(С)). Но, так как r(A) = r (С) = 2 < 3, где 3 – число неизвестных системы уравнений, то исходная система имеет бесконечное множество решений.

Отличный от нуля минор второго порядка состоит из коэффициентов, стоящих при неизвестных и первого и второго уравнения. Следовательно, первая и вторая строка матрицы А линейно независимы, а третья выражается через них (является их суммой). Поэтому третье уравнение системы можно отбросить.

Так как элементы данного минора – это коэффициенты при и , то эти переменные будут базисными, а «лишней» (свободной), поэтому перенесем ее в правые части уравнений. В итоге получим систему:

(3)

В данном случае определитель матрицы системы не равен нулю. Следовательно, существует обратная матрица , и мы можем решить систему уравнений матричным методом и по формулам Крамера.

1) решим систему (3) по формулам Крамера.

Заметим, что для нахождения побочных определителей и мы использовали правую часть уравнений системы (3) , содержащую свободную переменную . По формулам Крамера получаем:

, .

Обозначив получим решение исходной системы уравнений (2):

(4)

Задавая произвольные значения переменной t, мы будем получать каждый раз новое решений системы (2), то есть исходная система линейных алгебраических уравнений имеет бесконечное множество решений.

2) Решим систему (3) матричным методом.

существует обратная матрица .

Найдем ее.

Составим матрицу из алгебраических дополнений элементов матрицы

==.

Транспонируя матрицу , получим присоединенную матрицу

.

Найдем обратную матрицу

==.

Проверим правильность нахождения

=ּ=

=, значит, матрица

построена верно (равенство А₁^-1 × А₁ = Е проверить самостоятельно).

Найдем решение системы (3):

=ּ=ּ = =

==.

Следовательно, обозначив получим решение исходной системы уравнений (2):

(5)

Заметим, что формулы (5) совпадают с формулами (4), что естественно, так как это решения одной и той же системы уравнений (2), полученные разными методами.

Анализируя данный пример, можно сделать вывод, что формулы Крамера и матричный метод можно применять для решения систем линейных алгебраических уравнений, для которых r(A) = r(С) < n. Алгоритм решения таких систем достаточно прост:

– система «укорачивается» до невырожденной,

– решается по формулам Крамера или матричным методом;

– свободной переменной или переменным (их может быть несколько) присваиваются произвольные значения .

В итоге «не укороченная» система имеет бесконечное множество решений.

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений (1), когда правая часть равна нулю, то есть . Такая система уравнений называется однородной. Так как в этом случае матрица А системы и расширенная матрица С этой же системы отличаются лишь тем, что в матрице С есть дополнительный нулевой столбец, то r(A) = r(С), и по теореме Кронекера-Капелли однородная система всегда совместна, то есть всегда имеет решение: единственное или бесконечное множество. Если система имеет единственное решение , то оно называется тривиальным.

Важно установить, когда однородная система уравнений имеет ненулевое решение. По теореме Кронекера-Капелли это будет в случае, если

r(A) = r(С) = k < n, то есть когда система имеет бесконечное множество решений. Если однородная система содержит n уравнений с n неизвестными, то она будет иметь ненулевые решения тогда и только тогда, когда 0. Иначе, если , то АХ=0 Х=, то есть если определитель системы не равен нулю, то решение будет единственным – нулевое (тривиальное).

Пример. Исследовать на совместность и решить систему линейных алгебраических уравнений

Дата добавления: 2014-01-04