Табличная форма представления системы линейных уравнений

Различают простую (4.2) и расширенную (4.3) матричные формы системы линейных уравнений:

(4.2)

(4.3)

Решением системы уравнений (4.1) называется такая последовательность чисел (), которая является решением каждого уравнения системы. Решить систему уравнений – значит найти все ее решения или убедиться в том, что их нет.

Два уравнения или две системы уравнений называют равносильными, если их решения совпадают.

Систему уравнений называют несовместной, если она не имеет ни одного решения.

Систему уравнений называют совместной, если она имеет хотя бы одно решение.

Теорема 4.1. (Кронекера-Капелли): для того чтобы система линейных уравнений была совместна необходимо и достаточно, чтобы ранг ее простой матрицы был равен рангу ее расширенной матрицы, т.е.

. (4.4)

Систему уравнений называют определенной, если она имеет одно решение.

Систему уравнений называют неопределенной, если она имеет бесконечное множество решений.

Неизвестную x_j будем называть разрешенной, если она обладает следующими двумя признаками:

а) в каком-либо уравнении системы (4.1) коэффициент при данной неизвестной равен 1;

б) во всех остальных уравнениях системы (4.1) коэффициенты при данной неизвестной равны нулю.

Уравнение системы (4.1), содержащее разрешенную переменную, будем называть разрешенным.

Пусть в системе (4.1) x₁, x₂, …, x_m составляют набор разрешенных неизвестных, тогда остальные x_m+1, x_m+2, …, x_n будем называть свободными переменными. Для одной и той же системы линейных уравнений может существовать несколько наборов разрешенных переменных, число которых равно числу сочетаний :

. (4.5)

Систему линейных уравнений, состоящую только из разрешенных уравнений, будем называть разрешенной.

Теорема 4.2. Разрешенная система уравнений всегда совместна. Она будет определенной, если ранг системы уравнений равен числу переменных, и неопределенной, если ранг системы уравнений меньше числа неизвестных.

Исходную систему уравнений, в случае если она является совместной, всегда можно привести к разрешенному виду с помощью следующих элементарных преобразований:

1) перестановка уравнений системы;

2) вычеркивание уравнения системы, у которого все коэффициенты при неизвестных и свободное число равны нулю, т.е. вычеркивание тривиального уравнения);

3) умножение обеих частей какого-либо уравнения системы на отличное от нуля число.

4) замена i -го уравнения системы уравнением, которое получается путем почленного сложения данного и какого-либо другого уравнения рассматриваемой системы.

Теорема 4.3. Элементарные преобразования приводят систему уравнений к равносильной ей системе уравнений.

Жордановым преобразованием системы уравнений (4.1) называют совокупность элементарных преобразований, целью которых является получение разрешенной переменной в каком-либо уравнении.

Жорданово преобразование можно представить в виде последовательности следующих этапов:

1. Выбираем в системе уравнений неизвестную, которую приведем к разрешенному виду. Пусть в качестве разрешенной представим неизвестную x₁ в первом уравнении.

2.

Пример 4.1. Решить следующую систему линейных уравнений методом Жордана-Гаусса:

Решение:

Составим расширенную матрицу данной системы уравнений и выделим с помощью метода Жордана-Гаусса разрешенные неизвестные. Примем в качестве разрешенных – х₁ и х₂.

Умножим (поэлементно) первую строку на –3 и сложим со второй (результат запишем во вторую строку):

.

Таким образом получили в первом уравнении разрешенную переменную х₁.

Умножим вторую строку на :

.

Сложим вторую с первой строкой (результат запишем в первую строку):

.

В результате элементарных преобразований получили разрешенные неизвестные х₁ и х₂, свободные соответственно х₃ и х₄.

Равносильная система уравнений имеет следующий вид:

Так как данная система уравнений является разрешенной, то она будет совместной. Число неизвестных системы больше числа уравнений, следовательно, рассматриваемая система уравнений будет неопределенной.

Выразим разрешенные неизвестные через свободные:

Зададим свободным неизвестным х₃ и х₄ какие-либо произвольные значения, для удобства х₃ =0 и х₄ =0, тогда одно из частных решений будет следующим: х₁ = –1, х₂ =0, х₃ =0, х₄ =0.

Ответ: рассматриваемая система уравнений совместна, но неопределенная.

Дата добавления: 2014-01-04