Графический (геометрический) метод решения задач ЛП

Пример 5.1. Решить следующую задачу линейного программирования геометрическим методом:

.

Решение:

Задача линейного программирования задана в стандартной форме и имеет два проектных параметра, следовательно, возможно ее решение геометрическим методом.

1 этап: построение прямых, ограничивающих область допустимых решений (ОДР).

Рассмотрим систему ограничений задачи линейного программирования (для удобства пронумеруем неравенства):

Рассмотрим первое ограничение, заменим знак неравенства знаком равенства и выразим переменную х₂ через х₁:

.

Для построения прямой по данному уравнению зададим две произвольные точки, к примеру:

Аналогично определяем точки для остальных ограничений системы и строим по ним прямые, соответствующие каждому неравенству (рис. 5.1). Прямые пронумеруем согласно принятой ранее схеме.

2 этап: определение решения каждого из неравенств системы ограничений.

Определим полуплоскости – решения каждого из неравенств.

Рассмотрим первое неравенство системы ограничений задачи. Возьмем какую-либо точку (контрольную точку), не принадлежащую соответствующей данному неравенству прямой, например, точку (0; 0). Подставим ее в рассматриваемое неравенство:

.

При подстановке координат контрольной точки неравенство остается справедливым. Следовательно, множество точек, принадлежащих данной прямой (т.к. неравенство не строгое), а также расположенных ниже ее, будут являться решениями рассматриваемого неравенства (пометим на графике (рис. 5.1) найденную полуплоскость двумя стрелками направленными вниз рядом с прямой I)[1].

Аналогично определяем решения других неравенств и соответственно помечаем их графике. В результате график примет следующий вид:

3 этап: определение ОДР задачи линейного программирования.

Найденные полуплоскости (решения каждого из неравенств системы ограничений) при пересечении образуют многоугольник ABCDEO, который и является ОДР рассматриваемой задачи.

Рис. 5.1. Область допустимых решений задачи

4 этап: построение вектора-градиента.

Вектор-градиент показывает направление максимизации целевой функции[2]. Определим его координаты: координаты начальной его точки (точки приложения) – (0; 0), координаты второй точки:

Построим данный вектор на графике (рис. 5.2).

5 этап: построение прямой целевой функции.

Рассмотрим целевую функцию данной задачи:

.

Зададим ей какое-либо значение, к примеру, . Выразим переменную х₂ через х₁:

.

Для построения прямой по данному уравнению зададим две произвольные точки, к примеру:

Построим прямую соответствующую целевой функции (рис. 5.2).

Рис. 5.2. Построение целевой функции F(X) и вектора-градиента С

6 этап: определение максимума целевой функции.

Перемещая прямую F(X) параллельно самой себе по направлению вектора-градиента, определяем крайнюю точку (точки) ОДР. Согласно графику (рис. 5.3), такой точкой является точка С ­– точка пересечения прямых I и II.

Рис. 5.3. Определение точки максимума целевой функции F(X)

Определим координаты точки С, с этой целью, решим следующую систему линейных уравнений:

Подставим найденные координаты в целевую функцию и найдем ее оптимальное (максимальное) значение:

Ответ: при заданных ограничениях максимальное значение целевой функции F (Х)=24, которое достигается в точке С, координаты которой х₁ =6, х₂ =4.

Пример 5.2. Решить задачу линейного программирования геометрическим методом:

Решение:

Этапы 1-3 аналогичны соответствующим этапам предыдущей задачи.

4 этап: построение вектора-градиента.

Построение вектора-градиента осуществляется аналогично, как и в предыдущей задаче. Построим данный вектор на графике (рис. 5.4). Отметим также на данном графике стрелкой направление, обратное вектору-градиенту, – направление минимизации целевой функции F (X).

5 этап: построение прямой целевой функции.

Построение прямой целевой функции F (X) осуществляется аналогично, как и в предыдущей задаче (результат построения приведен на рис. 5.4).

Рис. 5.4. Построение целевой функции F(x) и вектора-градиента С

6 этап: определение оптимума целевой функции.

Перемещая прямую F(x) параллельно самой себе в направлении, обратном вектору-градиенту, определяем крайнюю точку (точки) ОДР. Согласно графику (рис. 5.5), такой точкой является точка О с координатами (0; 0).

Рис. 5.5. Определение точки минимума целевой функции

Подставляя координаты точки минимума в целевую функцию, определяем ее оптимальное (минимальное) значение, которое равно 0.

Ответ: при заданных ограничениях минимальное значение целевой функции F (Х)=0, которое достигается в точке О (0; 0).

Пример 5.3. Решить следующую задачу линейного программирования геометрическим методом:

Решение:

Рассматриваемая задача линейного программирования задана в канонической форме, выделим в качестве базисных переменные x₁ и x₂.

Составим расширенную матрицу и выделим с помощью метода Жордана-Гаусса базисные переменные x₁ и x₂.

Умножим (поэлементно) первую строку на –3 и сложим со второй:

.

Умножим вторую строку на :

.

Сложим вторую с первой строкой:

.

В результате система ограничений примет следующий вид:

Выразим базисные переменные через свободные:

Выразим целевую функцию также через свободные переменные, для этого подставим полученные значения базисных переменных в целевую функцию:

.

Запишем полученную задачу линейного программирования

Так как переменные x₁ и x₂ неотрицательные, то полученную систему ограничений можно записать в следующем виде:

Тогда исходную задачу можно записать в виде следующей эквивалентной ей стандартной задаче линейного программирования:

Данная задача имеет два проектных параметра, следовательно, возможно ее решение геометрическим методом.

1 этап: построение прямых, ограничивающих область допустимых решений (ОДР).

Рассмотрим систему ограничений задачи линейного программирования (для удобства пронумеруем неравенства):

Построим прямые, соответствующие каждому неравенству (рис. 5.6). Прямые пронумеруем согласно принятой ранее схеме.

2 этап: определение решения каждого из неравенств системы ограничений.

С помощью контрольных точек определим полуплоскости – решения каждого из неравенств, и пометим их на графике (рис. 5.6) с помощью стрелок.

3 этап: определение ОДР задачи линейного программирования.

Найденные полуплоскости (решения каждого из неравенств системы ограничений) не имеют общего пересечения (так решения неравенства I противоречат в целом остальным неравенствам системы ограничений), следовательно, система ограничений не совместна и задача линейного программирования в силу этого не имеет решения.

Рис. 5.6. Фрагмент MathCAD-документа:

построение области допустимых решений задачи

Ответ: рассматриваемая задача линейного программирования не имеет решения в силу несовместности системы ограничений.

Дата добавления: 2014-01-04