Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний

Вынужденные колебания осциллятора. Резонанс. Импеданс колебательной системы.

Осциллятор может находиться под внешним воздействием. Если воздействие гармоническое, то реакция осциллятора избирательна. Степень воздействия зависит от частоты воздействия.

Если частота воздействия равна собственной частоте w»w_о, то это воздействие будет максимальным, и получило название резонанса.

1. Пружинный маятник

F_ocos(wt) – внешнее гармоническое воздействие

; ;

2.

С

R

L

Колебательный контур

E_ocoswt – гармоническое воздействие ЭДС.

; q/c+RI=-L;

В общем случае дифференциальное уравнение вынужденных колебаний:

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний неоднородно. Справа не ноль. Общее решение неоднородного уравнения складывается из двух, а именно: решения общего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.

Нас интересует частного решения неоднородного уравнения, которое определяет установившееся решение.

Справа гармоническая функция, слева сумма трех функций, которые тоже должны быть гармоническими с той же частотой.

Характеристики вынужденных колебаний

x(t)=Re(x(t))

x(t)=A_oe^iwt=A_oe^ijoe^iwt

Осуществим подстановку:

x^/(t)=iwA_oe^iwt

x^//(t)=- w²A_oe^iwt

A_oe^iwt(-w²+2biw+w_o²)=f_oe^iwt

A_o=

A_o=; . Частное решение уравнения имеет вид:

x(t)= cos(wt+)

Вынужденные колебания в системе оказались сдвинутыми по фазе по отношению к вынужденному воздействию.

х=Acos(wt+j_o)

1) Частота колебаний равна частоте вынужденных колебаний

2) A(w) – амплитуда зависит от частоты воздействия. При разных частотах А(w) будет разной.

3) j_о – разность фаз этого колебания и колебания вынужденного воздействия.

Дата добавления: 2014-01-04