Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Разложение функций в степенные ряды

Если степенной ряд сходится на интервале, то каждому значению х из этого интервала сходимости соответствует некоторая сумма ряда. То есть сумма степенного ряда есть функция от х на интервале сходимости. Обозначая ее через можно записать равенство

(10.11)

понимая его так, что при каждом сумма, стоящая справа в ряде (10.11) равна значению функции при том же х. Говорят, что ряд сходится к функции на интервале сходимости. Равенство (10.11), справедливое на интервале сходимости, называют разложением функции в степенной ряд.

Теорема 1. Степенной ряд (10.11) можно почленно дифференцировать любое число раз в интервале его сходимости, причем получающиеся новые ряды имеют тот же интервал сходимости.

Теорема 2. Степенной ряд (10.110 можно любое число раз почленно интегрировать в пределах от 0 до x, если , причем получающиеся новые ряды имеют тот же интервал сходимости, что и исходный ряд.

Эти две теоремы позволяют расширить область степенных рядов и применять их в вычислениях.

Если функция у = имеет ограниченные производные любого порядка, то ее можно разложить в степенной ряд, называемый рядом Тейлора (Б. Тейлор, 1685-1731, английский математик):

(10.12)

Если в ряде (10.12) положить а = 0, то получим ряд, носящий название ряд Маклорена (К. Маклорен, 1698-1746, шотландский математик):

Пример 10.11. Разложить в ряд Маклорена функции: а) .

Решение. Эта функция не изменяется при дифференцировании, то есть . Поэтому при х =0 имеем . Подставляя найденные значения функции и производных в ряд (10.13) получим разложение

. (10.14)

 

Здесь и ниже в конце формулы в скобках указан интервал сходимости степенного ряда.

б)

Решение.

Подставляя эти коэффициенты в ряд (10.13) получим разложение для синуса

(10.15)

в)

Решение. Продифференцируем почленно ряд для синуса. Будем иметь

или

(10.6)

г) .

Решение.

Подставляя эти значения коэффициентов в ряд (10.13), получим биномиальный ряд:

(10.17)

д).

Решение. Запишем биномиальный ряд для случая, когда .

(10.18)

Почленно интегрируя от 0 до х, получим

,

или ,


или (10.19)

е) .

Решение. В ряде (10.18) вместо х положим х3. Получим

Почленно интегрируя, как в предыдущем примере от 0 до х, будем

иметь

. (20.10)

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Итак, для нахождения радиуса сходимости степенного ряда предлагается формула | Применение степенных рядов в приближенных вычислениях
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 364; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.008 сек.