Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Определение комплексного числа, геометрическое представление комплексных чисел

Лекция № 32.

 

Начальные сведения о мнимых и комплексных числах приведены в разделе «Мнимые и комплексные числа». Необходимость в этих числах нового типа появилась при решении квадратных уравнений для случая D < 0 (здесь D – дискриминант квадратного уравнения). Долгое время эти числа не находили физического применения, поэтому их и назвали «мнимыми» числами. Однако сейчас они очень широко применяются в различных областях физики

и техники: электротехнике, гидро- и аэродинамике, теории упругости и др.

 

Комплексные числа записываются в виде: a+ bi. Здесь a и bдействительные числа, а iмнимая единица, т.e. i 2 = –1. Число a называется абсциссой, a b – ординатой комплексного числа a+ bi. Два комплексных числа a+ bi и a – bi называются сопряжёнными комплексными числами.

Основные договорённости:

1. Действительное число а может быть также записано в форме комплексного числа: a+ 0 i или a – 0 i. Например, записи 5 + 0 i и 5 – 0 i означают одно и то же число 5.

 

2. Комплексное число 0 + bi называется чисто мнимым числом. Запись bi означает то же самое, что и 0 + bi.

 

3. Два комплексных числа a+ bi и c+ di считаются равными, если a= c и b= d. В противном случае комплексные числа не равны.

 

Сложение. Суммой комплексных чисел a+ bi и c+ di называется комплексное число (a+ c) + (b+ d) i. Таким образом, при сложении комплексных чисел отдельно складываются их абсциссы и ординаты.

Это определение соответствует правилам действий с обычными многочленами.

 

Вычитание. Разностью двух комплексных чисел a+ bi (уменьшаемое) и c+ di (вычитаемое) называется комплексное число (a – c) + (b – d) i.

Таким образом, при вычитании двух комплексных чисел отдельно вычитаются их абсциссы и ординаты.

Примеры: 1)(1 + i) + (2 – 3 i) = 1 + i + 2 –3 i = 3 – 2 i;

2)(1 + 2 i) – (2 – 5 i) = 1 + 2 i – 2 + 5 i = –1 + 7 i.

 

Умножение. Произведением комплексных чисел a+ bi и c+ di называется комплексное число:

(ac – bd) + (ad + bc) i. Это определение вытекает из двух требований:

 

1) числа a+ bi и c+ di должны перемножаться, как алгебраические двучлены,

2) число i обладает основным свойством: i 2 = 1.

 

Примеры:

1)(1 + i)∙(2 – 3 i) = 2 – 3 i + 2 i – 3 i 2 = 2 – 3 i + 2 i + 3 = 5 – i;

2)(1 + 4 i)∙(1 – 4 i) = 1 – 42 i 2 = 1 + 16 = 17;

3)(2 + i)2 = 22 + 4 i + i 2 = 3 + 4 i.

 

П р и м е р. (a+ bi)(a – bi) = a 2 + b 2. Следовательно, произведение

двух сопряжённых комплексных чисел равно действительному положительному числу.

Деление. Разделить комплексное число a+ bi (делимое) на другое c+ di (делитель) - значит найти третье число e+ f i (чатное), которое будучи умноженным на делитель c+ di, даёт в результате делимое a+ bi.

Если делитель не равен нулю, деление всегда возможно.

 

Пример. Найти (8 + i): (2 – 3 i).

Решение. Перепишем это отношение в виде дроби:

Умножив её числитель и знаменатель на 2 + 3 i и выполнив все преобразования, получим:

 

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
При этом многочлен называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения | Геометрическое представление комплексных чисел
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 277; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.011 сек.