Аппроксимация тригонометрическими полиномами кусочно-гладких функций

Функция называется кусочно-гладкой на отрезке , если этот отрезок можно разбить на конечное число отрезков, в каждом из которых – гладкая функция, т.е.непрерывна вместе со своей первой производной.

Теорема

Тригонометрический ряд Фурье кусочно-гладкой функции на отрезке сходится к значению в точке (сходиться к в точках непрерывности функции).   В обеих граничных точках сумма ряда равна среднему арифметическому ее предельных значений в этих точках, т.е.

Пример

Найти ряд Фурье для функции Представить графически приближение этой функции с помощью тригонометрических многочленов степеней , . Оценить погрешность среднеквадратического приближения .

Решение

Определяем коэффициенты Фурье (по формуле (4)) Сделаем замену переменных: . Тогда и формулы (3), (4) примут вид:  

(3')
(4')

Т.е. (3), (4) и (3'), (4') эквивалентны! Считать удобнее по формулам (3'), (4').

Определяем коэффициенты Фурье (у нас - функция определена на интервале ):

Т.о. ряд Фурье имеет вид

Многочлен наилучшего приближения получаем из последней формулы:

Погрешность приближения находим по формуле:

(следует из )

т.к. ,

то

Дата добавления: 2014-01-04