Использование интегралов в экономических расчетах

Пример 3.41. Определить объем продукции, произведенной рабочим за третий час рабочего дня, если производительность труда характеризуется функцией

f(t) = 3/(3t +1) + 4.

Решение. Если непрерывная функция f(t) характеризует производительность труда рабочего в зависимости от времени t, то объем продукции, произведенной рабочим за промежуток времени от t₁ до t₂ будет выражаться формулой

V =.

В нашем случае

V = = ln 10 + 12 - ln 7 - 8 = ln 10/7 + 4.

Пример 3.42. Определить запас товаров в магазине, образуемый за три дня, если поступление товаров характеризуется функцией f(t) = 2t + 5.

Решение. Имеем:

V =.

Пример 3.43. Пусть сила роста (см.6.1) описывается некоторой непрерывной функцией времени d _t = f(t), тогда наращенная сумма находится как

S = P exр d _t dt,

а современная величина платежа P = S exр(- d _t dt).

Если, в чаcтности, d _t является линейной функцией времени:
d _t = d _o + at, где d _o - величина силы роста для t = 0, a - годовой прирост, то

d _t dt = (d _o + at)dt = d _o n + an²/2;

множитель наращения exр(d _o n + an²/2). Если сила роста изменяется по геометрической прогрессии d _t = d _o a^t, где d _o - начальное значение процентной ставки, a - годовой коэффициент роста, тогда

d _t dt = d _o a^t dt = d _o a^t /lna= d _o(aⁿ -1)/lna;

множитель наращения exр(d _o(aⁿ -1) / lna).

Предположим, что начальный уровень силы роста равен 8%, процентная ставка ежегодно увеличивается на 20% (a=1,2), срок ссуды 5 лет. Множитель наращения в этом случае составит exр(0,08 (1,2⁵-1) / ln1,2)» exр 0,653953» 1,921397.

Пример 3.44. Выше при анализе непрерывных потоков платежей предполагалось, что годовая сумма ренты R равномерно распределяется на протяжении года. На практике, особенно в инвестиционных процессах, этот поток может существенно изменяться во времени, следуя какому-либо закону. Если этот поток непрерывен и описывается некоторой функцией
R _t = f (t), то общая сумма поступлений за время n равна .

В этом случае наращенная по непрерывной ставке за период от 0 до n сумма составит:

S = .

Современная величина такого потока равна

A = .

Пусть функция потока платежей является линейной: R_t = R_o + at, где
R_o - начальная величина платежа, выплачиваемого за единицу времени, в которой измеряется срок ренты. Вычислим современную величину A, пользуясь правилами интегрирования определенного интеграла:

A = = + .

Обозначим A₁ = , A₂ = .

Имеем: A₁ = = - R_o/dê= - R_o/d(-e^o) = - R_o/d(-1) =
= R_o(-1)/d. A₂ = . Вычислим неопределенный интеграл
по частям: u = t, dv = dt Þ du = dt, v = = - /d, тогда = - t/d + 1/d = - t/d (t+1/d) +C. Следовательно,
A₂ = -a t/d (t+1/d)ê= ((1- )/d - n)a/d.

Итак, исходный интеграл

A = A₁ + A₂ = R_o(-1)/d + ((1- )/d - n)a/d.

Дата добавления: 2014-01-04