Углы, используемые для определения положения летательного аппарата

Разнообразие систем координат, используемых часто совместно в конкретной задаче по исследованию движения ЛА, приводит к необходимости установления связи между различными СК. Для рассмотренных групп прямоугольных СК связь между различными системами определяется двумя факторами: во-первых, взаимным положением начал разных СК, т.е. расстоянием между точками и и, во-вторых, взаимным угловым положением осей различных СК. Первый фактор определяется скоростью движения центра масс ЛА относительно земной поверхности; установление связи расстояния со скоростью центра масс ЛА и другими параметрами движения ЛА будет рассмотрено в разделе “Кинематические уравнения движения центра масс ЛА”.

Угловое положение между осями различных пар СК (второй фактор) может быть определено с помощью той или иной системы так называемых эйлеровых углов. Дело в том, что ЛА, вращаясь вокруг центра масс (как вокруг неподвижной точки) имеет три степени свободы и поэтому для того, чтобы полностью определить его положение в пространстве, надо задать три обобщенные координаты. Из классической механики известны три таких угла: угол прецессии , угол собственного или чистого вращения и угол нутации . Задание трех этих углов полностью определяет угловое положение тела (т.е. ЛА) в пространстве. Вместе с тем эти три угла и независимы в том смысле, что каждый из них может быть изменен без изменения двух других углов. Поэтому-то эти углы и могут служить обобщенными координатами тела с так называемой неподвижной точкой. Углы эти называются эйлеровыми углами. Кстати именно эти три угла - , и , “перекочевали” в ракетную технику и ныне известны как так называемая “ракетная” тройка эйлеровых углов. Однако названные эйлеровы углы , и - не единственно возможный выбор обобщенных координат. Так, в механике полета ЛА в атмосфере употребляется несколько иная, так называемая “самолетная” тройка углов Эйлера: угол рыскания (курса) , угол тангажа и угол крена .

Дело в том, что различные варианты организации углов Эйлера определяют большую или меньшую сложность будущих уравнений движения. Но, в любом варианте, углы Эйлера организуются строгой последовательностью поворота одной системы координат относительно другой из исходного положения полного их совмещения в любое произвольное. При этом вид уравнений движения будет проще, если первый поворот осуществить относительно оси, вокруг которой в процессе полета ЛА разворачивается больше всего. Для аппаратов, совершающих полет в достаточно плотных слоях атмооферы (самолеты, крылатые ракеты, ракеты классов "земля-воздух", "воздух-воздух", "воздух-земля" и пр.) такой осью будет ось . Для ракет-носителей (РН) или баллистических ракет (БР) характерны плоские траектории, лежащие в плоскости стрельбы; для аппаратов такого типа наиболее подходящей осью первого поворота является ось .

Углы между осями связанной и нормальной СК (углы , и )

Рассмотрим для начала так нываемую "самолетную" систему эйлеровых углов: угол рыскания (курса) , угол тангажа и угол крена .

Для получения этих углов рассмотрим определенную последовательность углов поворотов осей связанной СК, порождающую вышеназванные углы. Будем считать, что в некоторый исходный момент направления свяэанных и нормальных осей совпадают. В дальнейшем положение нормальных осей остается неизменным. Исходное положение связанных осей обозначим (см. рис. 2.5).

Рис.2.5.

Первый поворот связанных осей производится вокруг вертикальной оси на угол из исходного положения в первое промежуточное положение . При этом вектор угловой скорости первого поворота направлен вдоль оси , а , если поворот производится против часовой стрелки (смотреть с конца оси вращения) - (см. рис. 2.6).

Второй поворот связанных осей проиэводится вокруг оси на угол из первого промежуточного положения во второе промежуточное положение . При этом вектор угловой скорости второго поворота направлен по оси , а , если поворот производится против часовой стрелки (продольная ось расположена выше горизонтальной плоскости ). В результате второго поворота ось занимает свое окончательное положение - (см. рис. 2.6).

Третий поворот связанных осей производится вокруг продольной оси на угол из второго промежуточного положения в окончательное положение . При этом вектор угловой скорости третьего поворота направлен по оси , а , если поворот производится против часовой стрелки (поперечная ось расположена ниже горизонтальной плоскости ). В результате третьего поворота оси и занимают свое окончательное положение.

Итак, тремя вполне определенными последовательными поворотами связанных осей на углы , и связанные оси могут быть помещены в любое заданное (конечное) положение относительно нормальных осей . Схематично рассмотренная последовательность поворотов можно изобразить следующим образом:

При этом первые два поворота помещают в конечное положение ось , а последний поворот вокруг оси переводит в конечное положение оси и .

После рассмотрения последовательности поворотов можно записать определения эйлеровых углов:

· Угол рыскания (курса) - это угол между осью и проекцией продольной оси на местную горизонтальную плоскость ;

· Угол тангажа - это угол между продольной осью и местной горизонтальной плоскостью ;

· Угол крена - это угол между поперечной осью и осью , смещенной в положение, соответствующее нулевому углу рыскания.

Отметим, что использование рассмотренной тройки углов Эйлера опирается на предположение, что выполняется условие . В противном случае векторы и “складываются” и описанный способ определения относительного углового положения теряет смысл. Предъявляемое требование к изменению угла тангажа формирует требование к траектории ЛА и таким образом определяет уже упомянутый класс атмосферных ЛА, к которому применима рассмотренная тройка углов Эйлера.

Для других классов ЛА (РН или БР) применяются иные системы эйлеровых углов, с иной последовательностью поворотов и иными требованиями к предельной величине углов [ ].

Углы между осями скоростной и нормальной СК (углы , и )

Угловое положение осей скоростной СК отнооительно нормальной определяется следующей тройкой эйлеровых углов – скоростным углом рыскания , скоростным углом тангажа и скоростным углом крена . Построение этих углов и их определение абсолютно аналогично построению и определению углов , и ; отличие заключается лишь в том, что углы , и относятся не к связанным, а к скоростным осям. Поэтому мы не будем подробно рассматривать последовательность поворотов, а ограничимся лишь ссылкой на рис. 2.7 и указанием, что первый поворот совершается на угол , второй – на угол и третий – на угол .

Углы между осями траекторной и нормальной СК (углы и )

Угловое положение oceй траекторной СК (относительно нормальной определяется углом наклона траектории и углом поворота траектории {углом пути) - . Построение этих углов производится последовательно двумя поворотами: первый поворот вокруг оси на угол (см. рис. 2.8), второй поворот – вокруг оси на угол . На рис.2.8 вектор земной скорости центра масс ЛА (вектор скорости начала относительно системы ) обозначен как ; проекция вектора земной скорости ЛА на местную горизонтальную плоскость обозначена как ; вектор называется также вектором путевой скорости.

Углы и называются траекторными углами. Приведем их определения.

Угол поворота траектории (угол пути) - это угол между осью и проекцией оси (вектора ) на местную горизонтальную плоскость ; иначе - угол между осью и вектором путевой скорости ; , если ось совмещается с вектором путевой скорости поворотом вокруг оси против часовой стрелки.

Угол наклона траектории - это угол между вектором земной скорости ЛА (осью ) и местной горизонтальной плоскостью ; , если проекция вектора на ось положительна (т.e. если ось лежит выше плоскости ).

Отметим, что (в отличие от связанных либо скоростных осей) для задания углового положения траекторных осей используются два эйлеровых угла - и (а не три). Это объясняется тем, что траекторная ось всегда располагается в горизонтальной плоскости , т.е. траекторный угол крена (третий эйлеров угол) тождественно равен нулю. Иначе можно сказать, что траекторные оси относительно нормальных по крену не разворачиваются. Фактически траекторные углы вводятся для того, чтобы определить направление одного вектора - ; а известно, что направление одного вектора относительно тройки осей можно задать с помощью двух углов. Например, углы и определяют положение продольной оси ЛА относительно нормальных осей ; в случае траекторных осей вместо продольной оси рассматривается ось (вектор ), угол переходит в траекторный угол , а угол - в траекторный угол .

Углы между осями траекторной и скоростной СК при

В случае, если скорость среды относительно земной поверхности равна нулю (например, если - скорость вектора, то при ), вектор земной скорости ЛА совпадает с вектором скорости ЛА относительно среды, т.е. (т.е. ). Тогда траекторный угол совпадает со скоростным углом рыскания, т.е. , а траекторный угол совпадает со скоростным углом тангажа, т.е. . Но и, следовательно, скоростные оси всегда развернуты относительно траекторных на угол скоростного крена .

Углы между осями связанной и скоростной СК (углы и )

Обычио используется угловое положение связанных осей относительно только одной скоростной оси - (т.е. используется положение ЛА относительно вектора скорости набегающего потока). Как уже отмечалось, для того, чтобы определить положение одной оси по отношению к тройке осей , нужны только два угла; в данном случае таковыми являются – угол атаки и угол скольжения . Как и прежде, построение этих углов связанос определенной последовательностью поворотов связанных осей относительно скоростных. Поскольку углов два, то для их построения достаточно двух поворотов. В исходном положении оси обеих систем совпадают. Первый поворот (см. рис. 2.9) связанных осей производится относительно оси на угол . Второй поворот связанных осей производится относительно связанной оси на угол .

Исходя из принятой последовательности поворотов, можно дать следующее определение углов и .

Угол атаки - это угол между продольной осью ЛА и проекцией вектора скорости (вектора скорости ЛА относительно среды) на продольную вертикальную плоскость симметрии ЛА (плоскость ); , если проекция вектора на нормальную ось отрицательна (т.е. если вектор расположен ниже плоскости ).

Угол скольжения - это угол между вектором скорости и продольной вертикальной плоскостью симметрии ЛА (плоскостью ); , если проекция вектора на поперечную ось положительна (т.е. если ЛА встречает набегающий поток правым бортом).

Полезно (для будущей задачи об интегрировании динамических уравнений движения ЛА) установить связь между углами и и проекциями вектора на связанные оси. Для этого обратимся к рис. 2.10, где обозначено: - проекции вектора на оси соответственно. Напомним, что

, (2.2)

где

- вектор скорости ЛА относительно среды;

- вектор скорости ЛА относительно Земли;

- вектор скорости среды относительно Земли, например, вектор скорости ветра.

Непосредственно из рис. 2.10 следует, что:

, (2.3)

где

. (2.4)

Разрешая выражения (2.3), (2.4) относительно и , получим:

, (2.5)

. (2.6)

Сделаем важное замечание. В дальнейшем, если не будет специальных оговорок или пояснений, будем считать, что ветер отсутствует, и не будем делать различий между земной и воздушной скоростью центра масс ЛА. Эту скорость будем обозначать как . Сам ветер будем рассматривать в дальнейшем как возмущение, приводящее к возмущенным значениям параметров движения ЛА.

Дата добавления: 2014-01-04