Основные понятия теории множеств

ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ

ЛЕКЦИЯ №1

План

1 Основные понятия теории множеств

2. Способы задания множеств

3. Универсальное множество

4. Операции над множествами

Теория множеств возникла во второй половине XIX века. Ее авторство принадлежит немецкому математику Георгу Кантору. Теория множеств лежит в основе многих математических дисциплин.

Георг Кантор (1845 – 1918). Немецкий математик. Родился в Петербурге. Окончил Берлинский университет (1867). С 1869 г. преподавал в университете в Галле (в 1879 — 1913 профессор). Сформулировал (1878) общее определение мощности множества, первое определение континуума, ввел понятия счетных и несчетных множеств, пустого множества. Развил принципы сравнения множеств. Систематическое изложение принципов своего учения о бесконечности дал в 1879 – 1884 гг. Ввел (1883) новое понятие действительных чисел.

Понятие множества является первичным и поэтому формально не может быть определено. Дадим не строгое определение, для того чтобы создать понятие, представление.

Определение 1.1. Множество – это совокупность, набор различных элементов (объектов), объединенных по каким-либо признакам, общим для них, которые позволяют их рассматривать как единое целое.

Множество состоит из элементов. Множество принято обозначать прописными латинскими буквами (), а его элементы – строчными буквами (). Если элемент принадлежит множеству , то это записывается следующим образом: . Случай, когда элемент не принадлежит множеству , записывается так: . Множество является подмножеством множества , если каждый элемент множества входит в . Записывается это в следующем виде: .

Определение 1.2. Множество называется пустым множеством, если оно не содержит ни одного элемента и обозначается .

Определение 1.3. Множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.

Пример 1.1. Множества и равны между собой.

Пример 1.2. Множества и не равны между собой.

Рассмотрим несколько утверждений без доказательств:

1. Если и , то ,

2. Пустое множество есть подмножество любого множества.

3. Каждое множество имеет, по крайней мере, два различных подмножества: само себя и пустое множество.

4. Если и , то

Группа студентов – множество, элементами которого являются отдельные люди. В свою очередь, студенческая группа – есть элемент множества всех групп в университете. Таким образом, элементами множества могут быть множества.

Определение 1.4. Множество называется конечным, если содержит конечное число элементов; в случае если множество содержит бесконечное число элементов, то оно называется бесконечным.

Дата добавления: 2014-01-04