Понятие производной

Пусть дана функция . Рассмотрим два значения ее аргумента: исходное и новое . Разность называется приращением аргумента в точке (кратко – приращением аргумента) и обозначается символом .

При этом если изменяется аргумент, то и функция получит некоторое приращение в точке : . Приращение функции в точке кратко обозначается . На рис. 5.3 показаны величины и .

Таким образом, можно записать:

(5.7)

(5.8)

или:

(5.9)

(5.10)

Подставляя в формулу (5.8) выражение (5.9), получим:

(5.11)

Составим отношение:

(5.12)

Определение 5.5. Производной функции называется предел отношения ее приращения к соответствующему приращению независимой переменной, когда :

(5.13)

Для одной и той же функции производную можно вычислить в различных точках .

Наряду с обозначением для производной функции употребляются и другие обозначения: , .

Нахождение производной называется дифференцированием.

Функция , имеющая производную в точке , называется дифференцируемой в этой точке. Функция называется дифференцируемой на интервале , если она дифференцируема в каждой точке этого интервала.

Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке. Обратное неверно.

Пример 5.3. Используя определение, вычислим производную функции .

=

=

Для того чтобы функция в точке имела производную , необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке как правостороннюю , так и левостороннюю производные и чтобы эти производные были равны между собой.

Геометрический смысл производной: тангенс угла наклона касательной к графику функции в точке с абсциссой равен значению производной в этой точке:

(5.14)

Механический смысл производной: скорость прямолинейного движения материальной точки в момент времени есть производная от пути по времени , т.е.:

(5.15)

Дата добавления: 2014-01-04