Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Интервальная оценка генеральной средней

Таким образом, при извлечении из генеральной совокупности с параметрами и выборки большого объема выборочная средняя подчиняется нормальному закону .

Очевидно, что тем точнее определяет параметр , чем меньше абсолютная величина разности . Другими словами, если и , то чем меньше , тем оценка точнее. Таким образом, положительное число характеризует точность оценки и называется предельной ошибкой. Однако статистические методы не позволяют категорически утверждать, что оценка * удовлетворяет неравенству ; можно лишь говорить о вероятности, с которой это неравенство осуществляется.

Определение 11.1. Надежностью (доверительной вероятностью) оценки называют вероятность , с которой осуществляется неравенство . Обычно надежность оценки задается наперед, причем в качестве берут число, близкое к единице. Наиболее часто задают надежность, равную 0,95; 0,99 и 0,999.

Принцип практической уверенности «Если какое-нибудь событие имеет малую вероятность (например, меньше 0,01), то при единичном испытании можно практически считать, что это событие не произойдет, а если событие имеет вероятность близкую к единице (например, больше 0,99), то практически при единичном испытании можно считать, что это событие произойдет наверняка.

Определение 11.2. Уровень значимости – это максимальная вероятность ошибки, которой можно пренебречь в данной задаче. Уровень значимости связан с надежностью следующим соотношением:

(11.4)

Пусть вероятность того, что равна . Поскольку выборочное распределение средних подчиняется нормальному закону, то вероятность того, что выборочная средняя по абсолютной величине не превысит значения будет равна

Заменив на , получим:

(11.5)

где . Отсюда предельная ошибка будет равна:

(11.6)

Доверительный интервал для генеральной средней:

(11.7)

Отметим, что число определяется из равенства , или ; по таблице функции Лапласа находят аргумент , которому соответствует значение функции Лапласа, равное .

При извлечении из генеральной совокупности выборок равного объема увеличение уровня надежности приводит к увеличению доверительного интервала. Для 100%-го уровня надежности доверительный интервал – . Для получения по возможности узкого интервала при сохранении высокого уровня надежности необходимо увеличить объем выборки. Интуитивно понятно, что чем больше информации, тем меньше неопределенность и больше точность.

При больших выборках, когда , если неизвестно, то его можно заменить выборочным среднеквадратическим отклонением. Однако при выборочное распределение средних при такой замене будет описываться распределением Стьюдента (см. рис. 11.1). В этом случае предельная ошибка рассчитывается по формуле:

(11.8)

Здесь – исправленная дисперсия, – критерий Стьюдента, который определяется по специальным таблицам с помощью двух чисел: уровнем значимости и числом степеней свободы (– число зависимых переменных).

Пример 11.1. Случайная величина имеет нормальное распределение с известным параметром . Сделана случайная выборка объёма . Найти доверительные интервалы для оценки неизвестного математического ожидания по выборочным средним , если задана надёжность оценки .

Решение:

Найдём . Из отношения получим . По таблице находим . Предельная ошибка равна:

. Доверительный интервал: .

Таким образом, .

Это означает, что с вероятностью 95% можно быть уверенным в том, что доверительный интервал накроет параметр , или с вероятностью 95% быть уверенным в том, что вычисленное по выборке среднее даёт значение параметра с точностью 0,98.

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Выборочное распределение средних | Понятия функциональной, статистической и корреляционной связи
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 662; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.013 сек.