Силы в механике

При изучения различных движений обнаруживается, что в инерциальных системах отсчета всякое ускорение тела вызывается действием на него каких-либо других тел.

Влияние другого тела (или тел), вызывающее ускорение частицы А, называют силой.

Важнейшей характеристикой силы является ее материальное происхождение.

В настоящее время принято говорить о четырех фундаментальных взаимодействиях в природе.

Два фундаментальных вида взаимодействия - слабое и сильное - проявляются в мире элементарных частиц и в атомных ядрах. Они действуют на малых расстояниях (слабое - порядка 10^-18 м, сильное - 10^-15 м) и в случае ньютоновой механики от них можно отвлечься.

Два других фундаментальных вида взаимодействия, лежащие в основе всех механических явлений, - гравитационное и электромагнитное.

Сила гравитационного притяжения, действующая между двумя материальными точками, в соответствии с законом всемирного тяготения пропорциональна произведению масс точек и обратно пропорциональна квадрату расстояния r между ними и направлена вдоль прямой, соединяющей эти точки, от одного тела к другому:

,

(24)

где G-гравитационная постоянная.

Кулоновская сила, действующая между двумя точечными зарядами и ,

(25)

где: r- расстояние между зарядами, k - коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора системы единиц. В отличие от гравитационной силы кулоновская сила может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания.

Заметим, что закон Кулона (25) перестает выполняться точно, если заряды движутся. Электрическое взаимодействие движущихся зарядов можно описать используя силу Лоренца

(26)

Несмотря на то, что гравитационные и электрические взаимодействия лежат в основе всего бесчисленного разнообразия механических явлений, анализ явлений, особенно макроскопических, оказался бы весьма сложным, если бы во всех случаях мы исходили из этих фундаментальных взаимодействий. Поэтому удобно ввести другие, приближенные, законы сил (которые в принципе могут быть получены из фундаментальных сил). Это необходимо для того, чтобы упростить математически задачу настолько, чтобы ее можно было практически решить.

С этой целью вводят, например, следующие силы.

Однородная сила тяжести

(27)

где т- масса тела, - ускорение силы тяжести.

Используя (26) и (27) можно, решая несложную задачу, определить ускорение свободного падения как функцию высоты над поверхностью Земли.

Так нам известно, что ускорение свободного падения на поверхности Земли на нашей широте равно примерно 9,8 м/с² , а на высоте 100 км примерно 9,5 м/с² .

Упругая сила пропорциональна смещению материальной точки из положения равновесия и направлена к положению равновесия:

(28)

где -радиус-вектор, характеризующий смещение частицы из положения равновесия; - положительный коэффициент упругости.

Примером такой силы является сила упругой деформации при растяжении (сжатии) пружины или стержня; в соответствии с законом Гука величина этой силы определяется как , где -величина растяжении (сжатии) пружины или стержня при упругой деформации.

Сила сопротивления, действующая на тело при его поступательном движении в газе или жидкости, называемая также силой вязкого трения. Эта сила зависит от скорости тела относительно среды, причем направлена противоположно вектору :

(29)

где - положительный коэффициент, характерный для данного тела и данной среды. Этот коэффициент зависит, вообще говоря, от скорости , однако при малых скоростях во многих случаях его можно практически считать постоянным.

Сила трения скольжения, возникающая при скольжении данного тела по поверхности другого тела,

(30)

где - - коэффициент трения скольжения, зависящий от природы и состояния соприкасающихся поверхностей (в частности, от их шероховатости не может быть больше 1); - величина силы нормального давления, прижимающая трущиеся поверхности друг к другу. Сила направлена в сторону, противоположную направлению движения данного тела относительно другого.

3.4 Движение материальной точки в неинерциальной системе отсчета

Неинерциальные системы отсчета

При движении тела вдоль поверхности Земли результат действия силы Кориолиса будет максимальным при движении по меридиану. При этом тело отклоняется вправо при движении с севера на юг и влево при движении с юга на север. Это обусловлено следующими причинами: первая – вращение Земли на восток, и вторая – зависимость от географической широты тангенциальной скорости точки на поверхности Земли (эта скорость равна нулю на полюсах и достигает своего максимального значения на экваторе). Таким образом, при выстреле пушки на север из любой точки на экваторе, снаряд падает восточнее своего первоначально заданного направления. Это отклонение объясняется тем фактом, что на экваторе снаряд двигается к востоку быстрее, чем в любой точке севернее. Аналогично, если стрелять со стороны северного полюса, то снаряд должен падать правее по отношению к своей прицельной точке, так как в этом случае за время полета цель успевает переместиться к востоку. Аналогичные смещения происходят при любом выстреле, если только первоначальная скорость снаряда имеет ненулевую проекцию на направление север – юг. Материалы взяты с астрономического сайта «Галактика»

Системы отсчета, движущиеся с ускорением относительно инерциальных систем, называют неинерциальными.

Просмотр фильма о движении в неинерциальных системах отсчета.

4 Законы сохранения

4.1 О законах сохранения

Любое тело (или совокупность тел) можно рассматривать как систему материальных точек. Если в системе с течением времени происходят какие-то процессы, то говорят, что изменяется ее состояние. Состояние системы характеризуется одновременным заданием положений (координат) и скоростей всех ее частиц.

Зная силы, действующие на частицы системы, в некоторый начальный момент времени, можно, как показывает опыт, с помощью уравнений движения предсказать ее дальнейшее поведение, т. е. найти состояние системы в любой момент времени.

Однако детальное рассмотрение поведения системы с помощью уравнений движения часто бывает настолько затруднительно (например, из-за сложности самой системы), что довести решение до конца представляется практически невозможным. А в тех случаях, когда законы действующих сил вообще неизвестны, такой подход оказывается в принципе неосуществимым. Кроме того, существует ряд задач, в которых детальное рассмотрение движения отдельных частиц просто и не имеет смысла (например, газ).

При таком положении естественно возникает вопрос: нет ли каких-либо общих принципов, являющихся следствием законов Ньютона, которые позволили бы иначе подойти к решению задачи, и помогли бы в какой-то степени обойти подобные трудности.

Оказывается, такие принципы есть. Это так называемые законы сохранения.

При движении системы ее состояние изменяется со временем,но существуют такие величины - функции состояния, которые обладают весьма важным и замечательным свойством сохраняться во времени.

Среди этих сохраняющихся величин наиболее важную роль играют энергия, импульс и момент импульса.

4.2 Импульс. Закон сохранения импульса.

Импульс частицы - это произведение ее массы на скорость .

Другое название этой величины - количество движения.

Перейдем к более подробному рассмотрению импульса. Прежде всего, запишем основное уравнение ньютоновой динамики (31) в иной форме-через импульс:

(33)

т. е. производная импульса материальной точки по времени равна действующей на нее силе.

В частности, если . то

Такая запись показывает связь между 1 и 2 законами Ньютона:

первый закон утверждает, что импульс сохраняется в отсутствии взаимодействия с другими объектами,

а второй описывает его изменение при наличии взаимодействия.

Уравнение (33) позволяет найти изменение импульса частицы за любой промежуток времени, если известна зависимость силы , действующей на частицу от времени.

Величина называется импульсом силы.

Проинтегрировав это выражение по времени, найдем изменение импульса частицы за конечный промежуток времени :

(34).

Перейдем к рассмотрению более сложного случая.

Рассмотрим систему, состоящую из N частиц, каждая из которых имеет свою скорость и массу .

В общем случае частицы этой системы могут взаимодействовать как с друг с другом так и с телами не входящими в систему,внешними телами.

Замкнутой системой называется система, для которой равнодействующая всех внешних сил равна 0.

Изолированной системой называется система, на которую не действуют внешние силы.

Запишем изменение импульса одной произвольной частицы системы

(35)

где - импульсчастицы.

,

где - силы, действующие на частицу со стороны других частиц системы, которые обычно называют внутренние силы; - сила, действующая на эту же частицу со стороны других тел, не входящих в рассматриваемую систему, т.е. равнодействующая внешних сил.

(36)

В этом равенстве первое слагаемое справа - это сумма всех внутренних сил.

В соответствии с третьим законом Ньютона силы взаимодействия между частицами системы попарно одинаковы по модулю и противоположны по направлению. Поэтому результирующая сила в каждой паре взаимодействия равна нулю, а значит, равна нулю и векторная сумма всех внутренних сил.

В результате последнее уравнение принимает следующий вид:

(37) - результирующая всех внешних сил.

Значит:

(38)

Уравнение (38) означает:

производная импульса системы по времени равна векторной сумме всех внешних сил, действующих на частицы системы.

Дата добавления: 2014-01-04