КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
По окружности
Динамика движения материальной точки Кинематика вращательного движения материальной точки рассматривалась в пунктах 1.4-1.5. Было отмечено, что даже при равномерном движении материальной точки по окружности, ее линейная скорость непрерывно изменяется по направлению. Это происходит благодаря ускорению (см.(1.24)), называемому центростремительным аЦ, или нормальным ускорением – аn. Ускорение материальной точки, в соответствии со вторым законом Ньютона, сонаправлено с вектором равнодействующей приложенных сил, и равно: . Таким образом, равномерное движение по окружности материальная точка может совершать, если равнодействующая F всех сил, приложенных к ней, направлена к центру окружности. Часто силу вызывающую центростремительное ускорение называют "центростремительной силой". Этот термин, как правило, вызывает заблуждение, ориентируя на поиск специфической центростремительной силы. Такой особой – центростремительной силы в природе не существует. Центростремительное ускорение вызывает равнодействующая приложенных сил! Во избежание недоразумений и ошибок мы рекомендуем не пользоваться термином "центростремительная сила", а уравнение динамики вращательного движения материальной точки, масса которой равна m, записывать в следующем виде: . Динамика движения материальной точки по окружности может быть изучена на основе общего подхода – с помощью основного закона динамики вращательного движения. Уточним некоторые определения. · Моментсилыотносительноточки О (полюса О) – векторная физическая величина, равная векторному произведению радиус-вектора r точки приложения силы, проведенного из точки О, и вектора силы F:
.
Напомним, что векторное произведение представляет собой вектор, направление которого определяется по правилу буравчика (см. (Б.II), параграф 1.5). Абсолютная величина (модуль) вектора векторного произведения равна произведению модулей векторов–сомножителей и синуса угла между ними . Из рисунка 2.16 видно, что модуль М можно представить следующим образом: , где – плечо силы относительно точки О. · Плечосилы – кратчайшее расстояние от полюса О до линии действия силы, т. е. длина перпендикуляра, опущенного из полюса на линию действия силы. · Моментсилыотносительнооси – это скалярная величина М, равная проекции на эту ось вектора момента силы М, определенного относительно точки, лежащей на этой оси: , где F┴ – проекция силы F на плоскость, перпендикулярную оси Z, L – плечо силы F относительно оси Z. В случае действия нескольких сил F i результирующий момент равен векторной сумме моментов M i всех сил: или , в последнем выражении берут алгебраическую сумму, в которой знак Mi зависит от знака проекции M i на ось Z. · Моментимпульсаматериальнойточкиотносительноточки (полюса – О) – это векторная величина, равная векторному произведению L= [ r,р ], где r – радиус-вектор материальной точки (начало которого находится в полюсе О), р – импульс точки. · Моментинерцииматериальнойточкиотносительнооси – скалярная величина, равная произведению массы m материальной точки на квадрат расстояния r от материальной точки до оси: . Вращательное движение материальной точки описывается уравнением, которое называется основным уравнением динамики вращательного движения. Запишем уравнение второго закон Ньютона для материальной точки, движущейся по окружности радиусом r: . (*) Учитывая формулу Эйлера , перепишем (*) следующим образом: . Умножим справа обе части полученного уравнения векторно на радиус-вектор r материальной точки:
. Соотношение (2.35) можно упростить. Действительно, поскольку вектор параллелен вектору r, то . Имеем:
. Раскрывая оставшееся двойное векторное произведение (см. (1.23)): и учитывая, что векторы r иd w /dt взаимно перпендикулярны, а поэтому их скалярное произведение равно нулю, приходим к выражению: . Правая часть уравнения (2.36) представляет собой момент М силы F относительно полюса. Произведение mr2=J есть момент инерции материальной точки, d w /dt= e – угловое ускорение вращательного движения. Следовательно, уравнение (2.36) можно записать так: . Уравнения(2.37) выражает основной закон динамики вращательного движения материальной точки. Оно является не только следствием, но и полным аналогом второго закона Ньютона m a = F для случая поступательного движения материальной точки. Заметим, что уравнение получено для случая, когда полюс совпадает с центром вращения материальной точки. Если рассматривать движение материальной точки относительно оси вращения Z, то уравнение движения примет соответствующую скалярную форму: , где MZ – суммарный момент сил относительно оси Z, JZ – момент инерции относительно оси, wZ – проекция угловой скорости на ось Z, dwZ/dt=e – угловое ускорение. Продифференцируем уравнение L =[ r, P ], определяющее момент импульса L материальной точки по времени: . Получаем: . Это уравнение является одним из основных уравнений динамики вращательного движения материальной точки. Оно является следствием и аналогом уравнения (2.31) d P /dt= F. Из соотношения (2.40) следует, что под воздействием приложенного момента сил М ¹0 момент импульса материальной точки изменяется таким образом, что . Соотношение (2.41) выражает закон изменения момента импульса. Очевидно, что вектор приращения момента импульса d L направлен параллельно вектору М момента силы. Выражение момента импульса можно представить в следующем виде: Обратим внимание на то, что соотношения (2.37) и (2.40) получены нами для материальной точки.
Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 401; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |