Равномощные множества. Счетные и несчетные множества

Определение. Два множества Х и Y равномощны, если существует взаимно однозначное отображение множества Х на множество Y. (Обозначают: Х ~ Y).

Пример. Множество сторон четырехугольника и множество его углов.

Понятие равномощности применимо как к конечным, так и к бесконечным множествам.

Два конечных множества равномощны тогда и только тогда, когда они содержат одинаковое число элементов (равномощные конечные множества называют равночисленными).

Рассмотрим примеры равномощных бесконечных множеств: N – множество натуральных чисел, А – множество четных натуральных чисел (А Ì N). Каждому натуральному числу поставим в соответствие число, которое больше его в 2 раза:

1 2 3 4 5…

2 4 6 8 10 …

Установленное соответствие взаимно однозначно, т.к. каждому натуральному числу соответствует единственное число из множества Y и наоборот: каждое число из множества Y соответствует единственному натуральному числу. Следовательно, множество натуральных чисел равномощно множеству четных натуральных чисел.

Определение. Бесконечное множество, равномощное множеству натуральных чисел, называется счетным.

Примеры счетных множеств: целых чисел, целых неотрицательных чисел, любое подмножество каждого из этих множеств.

Теорема (без доказательства). Множество действительных чисел, заключенных между нулем и единицей, несчетно.

Примеры несчетных множеств: множество всех действительных чисел, множество всех точек на прямой, множество всех точек плоскости.

Контрольные вопросы

1. Дайте определение декартова произведения множеств.

2. Перечислите способы задания декартова произведения множеств.

3. В каком отношении находятся множества X × Y и Y × X?

4. Что называют соответствием между множествами Х и Y?

5. Какое множество называют областью отправления, областью прибытия, областью определения и множеством значений соответствия?

6. Перечислите способы задания соответствий.

7. Какое соответствие называют отображением множества Х в множество Y; отображением множества Х на множество Y?

8. Какое соответствие называют взаимно однозначным соответствием?

9. Какие множества называют равномощными? В каком случае равномощны конечные множества?

10. Какие множества называют счетными? Приведите примеры счетных и несчетных множеств.

§ 5. Определение числовой функции. Способы задания функций. Свойства функций

На рисунке дан граф соответствия между множествами
Х = { а; b; с; d; е }, Y = {1; 2; 3; 4; 5}. Данное соответствие таково, что не у каждого элемента множества Х есть соответствующий элемент множества Y, но если есть, то он единственный.

А = { а; b; с } – множество тех элементов, для которых есть соответствующий элемент в множестве Y. Заметим, что каждому элементу множества А соответствует единственный элемент множества Y.

Определение. Соответствие между множествами Х и Y, где каждому элементу множества Х соответствует не более одного элемента множества Y, называется функциональным соответствием или функцией.

Функции обозначают буквами латинского алфавита f, g, h и др. и пишут: у = f (х).

х – независимая переменная или аргумент, все значения, которые принимает независимая переменная – область определения функции.

Пусть дана функция f с областью определения А Ì Х, где Х – множество отправления функции f. Множество прибытия обозначим Y.

Элемент у Î Y, соответствующий элементу х Î А, называют значением функции f и пишут у = f (х).

Определение. Множество всех у Î Y, которые являются значениями функции f, называют множеством значений функции f.

Если функция задана формулой и ее область определения не указана, то считают, что область определения функции состоит из всех значений аргумента, при которых формула имеет смысл.

Пример. Пусть дана функция f (х) = . Областью определения функции f (х) является множество R \ {2}.

Способы задания функций

1) Аналитическое задание функции – задание функции с помощью формулы у = f (х), где f (х) – некоторое выражение в переменной х.

2) Табличное задание функции – приводится таблица, указывающая значение функции для имеющихся в таблице значениях аргумента. Этот способ часто используется на практике, когда зависимость одной величины от другой находят опытным путем; оказывается удобным, т.к. позволяет найти значение функции для имеющихся в таблице значений аргумента без вычислений.

3) Графическое задание функции. Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты – соответствующим значениям функции.

Свойства функций

Четные и нечетные функции

Определение. Функция у = f (х) называется четной, если для любого элемента х из области определения функции выполняется равенство f (– х) = f (х).

Определение. Функция у = f (х) называется нечетной, если для любого элемента х из области определения функции выполняется равенство f (– х) = – f (х).

Из определений следует, что область определения Х как четной, так и нечетной функции должна обладать следующим свойством: если х Î Х, то – х Î Х.

График четной функции симметричен относительно оси ординат, а график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Возрастающие и убывающие функции

Определение. Функция у = f (х) называется возрастающей на промежутке Х, если " х ₁, х ₂ Î Х, таких, что х ₁ < х ₂, выполняется неравенство f (х ₁) < f (х ₂).

Определение. Функция у = f (х) называется убывающей на промежутке Х, если " х ₁, х ₂ Î Х, таких, что х ₁ < х ₂, выполняется неравенство f (х ₁) > f (х ₂).

Определение. Функция называется монотонной на некотором промежутке А, если она на этом промежутке возрастает или убывает.

Дата добавления: 2014-01-04