Теория способа наименьших квадратов

В качестве основного теоретически обоснованного способа уравнивания геодезических систем планового и высотного обоснования используется способ наименьших квадратов. Способ используется как для уравнивания сети обоснования при выполнении съемочных работ, так и для иных геодезических измерений.

Теоретическая суть способа заключается в следующем.

Допустим, что имеет место серия измеренных параметров, функции которых определяются следующей последовательностью чисел:

X₁, X₂, X₃, …, X_n.

Каждой функции в этой последовательности соответствуют погрешности:

∆₁, ∆₂, ∆₃, …, ∆_n,

которые подчиняются закону нормального распределения и имеют свою вероятность появления. Совокупность случайных погрешностей определяется в соответствии с теоремой умножения их вероятностей. В этом случае будем иметь:

, (16)

где n – количество измерений;

m – среднеквадратическая погрешность;

d∆i – дифференциал погрешности.

Анализ формулы (16) показывает, что максимальной вероятности появления совокупности распределений погрешностей в левой части уравнения, будет соответствовать наименьшее абсолютное значение показателя степени в правой части этого уравнения. То есть,

. (17)

Или, если для поправок V_i поставить условие

, (18)

аналогичное требованию (17), то оно наилучшим образом приводит к соответствующим погрешностям измерений. Как известно весовой коэффициент измерений устанавливается формулой:

, (19)

где m - произвольно выбранное число.

Подставляя (19) в (18) получим основное уравнение поправок:

å PV² Þ min, (20)

применение которого поясним на примере определения вероятнейшего значения величины X, при ее измерении с различной точностью. Так как V_i = X_ср – X_i, то, используя уравнение (20), можно записать:

f_(x) = å P_i(X_ср – X_i)² Þ min. (21)

Минимум функции (21) достигается приравниванием производной нулю и вычислением значений функции в критических точках. Дифференцируя (21) и выполнив несложные преобразования, получим уравнение, для средевесового значения:

X_ср å P_i = å P_i X_i. Или (22)

Дата добавления: 2014-01-04