Теорема Гаусса. Лекция 1. Закон Кулона. Напряженность электрического поля.

Лекция 1. Закон Кулона. Напряженность электрического поля.

Между заряженными и намагниченными телами действуют силы, называемые электромагнитными. Природа электромагнитных сил обусловлена электрически заряженными частицами, входящими в состав всех тел материального мира. Опытным путем установлено, что электрические заряды обладают следующими свойствами.

· Заряды бывают двух видов: положительные и отрицательные. Одноименные - отталкиваются, разноименные - притягиваются.

· Алгебраическая сумма зарядов изолированной системы постоянна.

· Электрический заряд является релятивистским инвариантом.

Наименьшим по абсолютной величине элементарным зарядом, равным 1,6×10^-19 кулона [ Кл ], является отрицательный заряд электрона или равный ему положительный заряд протона.

Взаимодействие электрических зарядов подчиняется закону Кулона. Cила, с которой неподвижный точечный заряд Q действует на другой точечный неподвижный заряд q в вакууме пропорциональна произведению их величин и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними

, (1)

где e_o = 8,85×10^-12 Ф/м; e _r - единичный вектор, направленный вдоль вектора r, идущего от заряда Q к заряду q (рис.1).

Одноименные заряды Разноименные заряды Рис.1

Заряды порождают в окружающем пространстве электрическое поле, проявляющееся в том, что помещенный в любую точку пробный заряд испытывает действие силы. Поле характеризуется векторной величиной, называемой напряженностью.

Напряженностью электрического поля называется отношение силы, действующей на электрический заряд q к величине этого заряда

. (2)

Направление вектора E совпадает с направлением силы, действующей на положительный пробный заряд. Подставляя (1) в (2), получаем выражение для напряженности поля точечного заряда Q

. (3)

Это выражение называют законом Кулона в полевой форме. Размерность напряженности в системе СИ - [ B/м ] или [ Н/К ].

Зная напряженность поля в любой точке, легко найти силу, действующую на заряд q, помещенный в эту точку поля

F = q Е .

Принцип суперпозиции. Сила, с которой система из n зарядов действует на заряд, не входящий в эту систему, равна векторной сумме сил, с которыми действует каждый заряд системы на данный

. (4)

Из (2) следует аналогичное соотношение и для напряженностей

. (5)

Напряженность поля системы зарядов равна векторной сумме напряженностей полей, которые создавал бы каждый из зарядов системы в отдельности.

Силовые линии. Электростатическое поле изображают графически с помощью силовых линий - кривых в пространстве, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора E (рис.2). Густота силовых линий выбирается так, чтобы количество линий, пронизывающих единицу поверхности, перпендикулярной силовым линиям, численно равнялось модулю вектора E. Силовые линии начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных. Поле, во всех точках которого вектор Е имеет одинаковую величину и направление, называется однородным (график 1 на рис.2). В остальных примерах - поля не- однородны.

Рис.2. Электростатические поля: однородное (1), положительного и отрицательного точечных зарядов (2,3), неоднородное (4)

Поток вектора напряженности электрического поля. Чтобы наглядно представить понятие “поток”, рассмотрим сначала поле точечного заряда q (E = q/4pe_or²). Опишем из этого заряда как из центра сферу радиуса r. Площадь сферы S= 4 pr², а величина напряженности измеряется числом силовых линий, проходящих через единицу площади сферы. Общее число линий, пересекающих поверхность сферы, равно

,

т.е. не зависит от r! Таким образом, произведение ES (в данном примере это и есть поток) определяется величиной порождающего поле заряда и связано простым соотношением с напряженностью. Здесь уместно сравнить поток вектора напряженности с потоком вектора скорости жидкости, вытекающей из центра сферы во всех направлениях со скоростью v. В этом случае произведение vS представляет собой объем жидкости, вытекающей в единицу времени через поверхность сферы наружу. Введем понятие потока вектора строго.

Потоком вектора напряженности электрического поля Е через поверхность S называется величина Ф _Е, равная

(6)

где E_n - проекция вектора Е на направление нормали n к поверхности S (рис.3).

Подынтегральное выражение можно рассматривать как скалярное произведение векторов Е и d S, если определить последний как вектор, имеющий направление нормали n и величину dS (т.е. дифференциально малого элемента поверхности S)

.

Рис.3

Теорема Гаусса. Так называется выражение, связывающее поток вектора Е через произвольную замкнутую поверхность с зарядом внутри нее. Найдем это выражение.

Опишем из точечного заряда q сферу радиуса r. В каждой точке сферы вектор напряженности направлен перпендикулярно поверхности сферы и по величине равен E=1/4pe_or². Поэтому поток вектора напряженности через сферу равен

,

где последний интеграл есть площадь сферы радиуса r, т.е. 4 pr². Тогда

. (7)

Рис.4

Окружим теперь заряд поверхностью S произвольной формы. Тогда поток dФ_Е через элемент dS (рис.4) этой поверхности равен

, (8)

где dW - телесный угол, опирающийся на площадку dS¢; a - угол между dS и dS¢. Интегрируя d Ф _Е в пределах полного телесного угла W= 4 p, получаем

. (9)

Поток Ф _Е равен заряду внутри поверхности S, деленному на e_o!

Если заряд q лежит вне замкнутой поверхности, то поток вектора Е равен нулю. Действительно, пучок касательных, проведенных от заряда q (рис.5) делит поверхность S на две части: S¢ и S¢¢. Потоки вектора Е через эти поверхности равны по величине, но имеют разные знаки, поэтому полный поток равен нулю.

Рис.5

Пусть внутри замкнутой поверхности находится n точечных зарядов. По принципу суперпозиции, результирующая напряженность равна сумме напряженностей, создаваемых каждым зарядом в отдельности, следовательно,

, Þ

. (10)

Последняя формула и выражает теорему Гаусса: поток вектора напряженности электрического поля через любую замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на e_о.

Дата добавления: 2014-01-04