Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Основные свойства функций

 

1. Четность и нечетность. Функция y = f(x) называется четной для любых значений х из области определения, если f(-x) = f(x), и нечетной, если f(-x) = -f(x). В противном случае функция называется функцией общего вида.

Например, функция у = х2 является четной, так как (-х)2 = х2; а функция у = х3 – нечетной, так как (-х)3 = -х3. Функция у = f(x) = х23 является функцией общего вида, так как f(-x) = (-х)2 +(-х)3 = х2 - х3. При этом f(-x) ¹ f(x) и f(-x) ¹ - f(x).

График четной функции симметричен относительно оси ординат (например, функции у = х2), а график нечетной функции симметричен относительно начала координат (например, график функции у = х3).

 

2. Монотонность. Функция y = f(x) называется возрастающей (убывающей) на некотором промежутке, еcли большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее (меньшее) значение функции.

Пусть х1, х2 Î X и х2 > х1. Тогда функция возрастает на промежутке X, если f(x2) > f (х1) и убывает, если f(x2) < f (х1).

В обоих случаях функции называются строго монотонными. Если два последних неравенства – нестрогие (т.е. f(x2) ≥ f (х1) и f(x2) £ f (х1)), то функции называют соответственно неубывающими и невозрастающими.

Например, функция у = х2 убывает для неположительных значений аргумента (т.е. на промежутке ]-¥; 0]) и возрастает для неотрицательных.

 

3. Ограниченность. Функция y = f(x) называется ограниченной на некотором промежутке X, если существует такое положительное число М, что модуль значения функции не превышает этого числа для любого аргумента из этого промежутка. (М > 0: |f(x)| £ M для любого х Î X)

В противном случае функция называется неограниченной.

Например, функция у = cos х ограничена на всей числовой оси, так как |cos х| £ 1. Функция у = х не ограничена на ]-¥; +¥[.

Если в определении рассматривать не модуль значения функции, а само значение, которое должно быть не меньше или не больше числа М, то можно говорить об ограниченности снизу или сверху.

 

4. Периодичность. Функция y = f(x) называется периодической с периодом Т ¹ 0, если для любых х из области определения f(х + Т) = f(x).

Например[3], функция у = sin х имеет период Т = 2p, так как
sin (х +2p) = sin х.

 

Обратная функция. Если для функции y = f(x) различным аргументам х1 ¹ х2 соответствуют различные значения функции y1 ¹ y2, то можно определить функцию x = j(y), которая каждому число y = f(x) ставит в соответствие число х. Такую функцию называют обратной для f и обозначают f-1.(не следует путать это обозначение с возведением в степень
(-1)).

Из этого определения следует, что для любой строго монотонной функции существует обратная функция.

Например, для функции у=ах обратной будет функция x=lоgaу (или в обычных обозначениях зависимой и независимой переменных у= lоgах).

 

Графики взаимно обратных функций симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов (относительно прямой
y = x) (см. рис. 1.3).

Сложная функция. Пусть функция y = f (u) есть функция от переменной u, определенной на множестве U c областью значений Y, а переменная u, в свою очередь, является функцией u = j (х) от переменной х, определенной на множестве X с областью значений U. Тогда заданная на множестве X функция y = f [j (х)] называется сложной функцией (или композицией функций, суперпозицией функций, функцией от функции).

Например, у = lg sin х — сложная функция, так как ее можно представить в виде у= lg u, где u = sin х.

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Функциональная зависимость | Графики основных элементарных функций
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 629; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.01 сек.