Плоскость и прямая в пространстве. Чтобы ввести понятие плоскости, зададим в пространстве прямоугольную (декартову) систему координат Охуz

Чтобы ввести понятие плоскости, зададим в пространстве прямоугольную (декартову) систему координат Охуz.

Определение 1. Плоскостью в пространстве называется множество всех точек М (х; у; z), координаты которых удовлетворяют уравнению

, (6.1)

где А, В, С, D – заданные числа, причем А, В и С не равны нулю одновременно. Уравнение (6.1) называется общим уравнением плоскости.

Геометрический смысл коэффициентов А, В и С состоит в том, что вектор перпендикулярен плоскости, его называют нормальным вектором плоскости. Этот факт устанавливается так же, как и в случае общего уравнения прямой на плоскости.

Рассмотрим частные случаи общего уравнения плоскости.

Из уравнения (6.1) следует, что если D = 0, то плоскость проходит через начало координат, так как координаты начала координат О (0;0;0) удовлетворяют уравнению .

Пусть С =0. Тогда уравнение

(6.2)

определяет плоскость, проходящую через прямую с этим уравнением в плоскости хОу и перпендикулярную этой плоскости. Какова бы ни была точка М (х; у; z), принадлежащая плоскости, ее координаты х, у удовлетворяют уравнению (6.2) независимо от того, какую она имеет третью координату z.

Если В = 0, С = 0, то уравнение

(А 0) (6.3)

есть частный случай уравнения (6.2). Преобразовав его к виду , заметим, что ему удовлетворяют точки, имеющие координату и произвольные координаты y и z, т.е. это плоскость, параллельная плоскости yOz или, что то же, перпендикулярная оси Ох.

Другие частные случаи уравнения (6.1) рассматриваются аналогично.

Определение 2. Если числа А, В, С, D не равны нулю, то уравнение (6.1) можно записать в виде

, (6.4)

где . Уравнение (6.4) называется уравнением плоскости в

Дата добавления: 2014-01-04