Аналитическое составление математического описания

При анализе и синтезе систем автоматического управления возникает необходимость использовать уравнения статики и динамики, в связи с чем математические модели разделяются на статические и динамические.

Статические модели характеризуют установившийся во времени режим рабты объекта. Статическими характеристиками считают уравнения, описывающие зависимость входных координат объекта от выходных.

Динамические модели описывают во времени изменение выходных координат объекта. Динамическими характеристиками считают уравнения, описывающие зависимость изменений во времени выходных координат от возмущающих воздействий.

Уравнение материального баланса основано на законе сохранения массы вещества: количество поступающих веществ G_iП равно количеству веществ на выходе G_iУ. Используется для составления математического описания участков объекта, где входными и выходными параметрами является расход вещества.

, (2.1)

где G_iП (t) – переменная расхода i – го приходящего потока вещества;

G_iУ(t) – переменная расход i – го уходящего потока вещества.

Уравнения материального баланса обычно недостаточно для полного описания процессов, так как переход сопровождается в общем случае изменением температуры и давления вещества, относительно которого записывается уравнение (1).

Уравнение энергетического баланса основано на законе сохранения энергии. Сумма мощностей всех источников и потребителей энергии в замкнутом контуре равна нулю:

, (2.2)

где W_ik, R_jk – мощности i – го источника и j – го потребителя в k – м контуре.

Уравнение теплового баланса является частным случаем уравнения энергетического баланса.

, (2.3)

Общее количество тепла в замкнутом объекте остаётся постоянным. Количество энергии ∑Q_Н, введённой в процесс, равно количеству выделившейся энергии:

, (2.4)

где ∑Q_К - количество отводимой теплоты; ∑Q_П – потери теплоты в окружающую среду.

Вводимая в процесс теплота ∑Q_Н складывается из теплоты Q₁ , поступающей с входящими потоками, подводимой, например, теплоносителями, теплоты физических или химических превращений Q₂ и теплоты входящего продукта Q₃. Количество отводимой теплоты ∑Q_К складывается из теплоты, уходящей с конечными продуктами, отводимой теплоносителями. Общая расчётная схема модели управления тепловым процессом приведена на рис. 2.3.

Рисунок 2.3. Обобщённая расчётная схема модели управления тепловым процессом.

Уравнение моментов. (2.5)

РАЗДЕЛ 3.

ТИПОВЫЕ МОДЕЛИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

Теплообмен – самопроизвольный необратимый процесс переноса теплоты от более нагретых тел к менее нагретым.

Теплота (количество теплоты) – энергетическая характеристика процесса теплообмена, которая определяется количеством энергии, отдаваемой или получаемой телом в процессе теплообмена.

К теплообменным процессам относятся: нагревание, охлаждение, испарение (в том числе выпаривание), конденсация. Аппараты, в которых проводят данные процессы, называют теплообменными.

Теплопередача – теплообмен между двумя теплоносителями через разделяющую их твёрдую стенку.

Теплоноситель – движущаяся среда (газ, пар, жидкость), используемая для переноса теплоты.

Горячий теплоноситель – насыщенный водяной пар, вода, дымовые газы. Холодные теплоносители (хладагенты) – аммиак, фреоны, рассол хлорида кальция, воздух, азот.

Теплопередача между средами происходит в установившихся (стационарных) и неустановившихся (нестационарных) режимах.

При стационарном процессе поле температур в аппарате не изменяется во времени, при нестационарном – изменяется. Установившиеся процессы имеют место в непрерывнодействующих аппаратах, неустановившиеся процессы протекают в аппаратах периодического действия, а также при пуске, останове аппаратов непрерывного действия или при изменении режимов работы.

Основными кинетическими характеристиками процесса теплопередачи являются средняя разность температур ∆t_ср, коэффициент теплопередачи К, количество передаваемой теплоты Q (от величины Q зависят размеры теплообменника).

Основное уравнение теплопередачи устанавливает связь между количеством передаваемой теплоты и площадью поверхности теплообмена:

, (3.1)

которое для стационарного процесса имеет вид:

. (3.2)

Передача теплоты может осуществляться теплопроводностью, конвекцией и тепловым излучением (далее не рассматривается).

ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ – процесс переноса энергии от более нагретых участков тела к менее нагретым в результате теплового движения и взаимодействия микрочастиц.В результате теплопроводности температура тела выравнивается.

Поверхность тела, все точки которой имеют одинаковую температуру, называется изотермической поверхностью. Предел отношения изменения температуры ∆t к расстоянию между изотермическими поверхностями ∆l по нормали называется температурным градиентом:

. (3.3)

Основной закон теплопроводности Фурье: количество теплоты dQ, переданное теплопроводностью, пропорционально градиенту температуры ∂t/∂l, времени dτ и площади сечения dF, перпендикулярного направлению теплового потока:

, (3.4)

где λ – коэффициент теплопроводности среды, Вт/(м∙К).

Коэффициент теплопроводности веществ зависит от их природы и агрегатного состояния, температуры и давления.

При решении конкретных задач уравнение теплопроводности дополняется соответствующими начальными и граничными условиями.

Для стационарного режима уравнение (3.4) принимает вид:

, (3.5)

где δ – толщина стенки, м;

- тепловая проводимость стенки.

КОНВЕКТИВНЫЙ ТЕПЛООБМЕН (ТЕПЛООТДАЧА) – процесс теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой. Интенсивность теплоотдачи характеризуется величиной коэффициента теплоотдачи α, равным отношению плотности теплового потока на поверхности раздела к температурному напору между поверхностью теплообмена и средой, Вт/(м²∙К).

При конвективном теплообмене теплота распространяется от поверхности твёрдого тела к потоку жидкости через пограничный слой за счёт теплопроводности, от пограничного слоя в ядро потока жидкости – в основном конвекцией. Различают теплоотдачу при свободной и вынужденной конвекции. В первом случае перемещение частиц жидкости или газа в аппарате происходит вследствие разности плотностей нагретых и холодных частиц жидкости или газа; во втором – конвекция возникает под действием насоса или вентилятора.

Основной закон теплоотдачи Ньютона: количество теплоты dQ, переданное от поверхности теплообмена к потоку жидкости (газа) или от потока к поверхности теплообмена, прямо пропорционально площади поверхности теплообмена F, разности температур поверхности t_ст и ядра потока t_ц (или наоборот) и продолжительности процесса:

. (3.6)

Если α имеет постоянное значение вдоль всей поверхности теплообмена, то:

(3.7)

Коэффициент теплоотдачи рассчитывают по критериальным уравнениям, полученными методами теории подобия из дифференциального уравнения конвективного теплообмена (3.7), дополненного уравнениями, характеризующими условие на границе раздела потока и стенки аппарата.

Дата добавления: 2014-01-04