Тема 2. Статистические оценки параметров распределения

Статистической оценкой неизвестного параметра теоретического распределения (т.е. количественного признака генеральной совокупности) называют функцию от наблюдаемых случайных величин.

Для того чтобы оценки давали «хорошие» приближения оцениваемых параметров, они должны удовлетворять определённым требованиям – быть несмещёнными, состоятельными и эффективными.

Оценка генеральной средней по выборочной средней:

Генеральной средней называется среднее арифметическое значений признака генеральной совокупности: .

Если значения имеют частоты (), то

.

Выборочной средней называется среднее арифметическое значений признака выборочной совокупности: Если значения имеют частоты (), то .

Пусть из генеральной совокупности извлечена повторная выборка объёма n со значениями . Пусть неизвестна и требуется оценить (т.е. приближённо найти) её значение по данным выборки.

Тогда в качестве оценки генеральной средней принимают выборочную среднюю .

То же и для бесповторной выборки.

Оценка генеральной дисперсии по исправленной выборочной:

Генеральной дисперсией называется среднее арифметическое квадратов отклонений значений признака генеральной совокупности от их среднего значения :

или (Если значения имеют частоты ()).

Генеральное среднее квадратическое отклонение: .

Выборочной дисперсией называется среднее арифметическое квадратов отклонений наблюдаемых значений признака от их среднего значения :

. .

.

Пусть из генеральной совокупности в результате n независимых наблюдений над количественным признаком Х извлечена выборка объёма n. (имеют частоты ()).

Требуется по данным выборки оценить неизвестную генеральную дисперсию .

В качестве оценки генеральной дисперсии принимают исправленную дисперсию

.

Для оценки среднего квадратического отклонения генеральной совокупности используют исправленное среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение):

.

Выше рассмотренные оценки – точечные. Они определяются одним числом.

Свойства, выполнение которых желательно для того, чтобы оценка была признана удовлетворительной:

1. Несмещенность. Оценка Q_В называется несмещённой оценкой параметра Q, если её математическое ожидание равно оцениваемому параметру: М(Q_В)=Q. Многократное осуществление выборок одинакового объёма обеспечивает совпадение среднего значения оценки по всем выборкам с истинным значением параметра. Разность М(Q_В) – Q называется смещением или систематической ошибкой оценивания. Для несмещённых оценок систематическая ошибка равна нулю.

2. Эффективность. Оценка параметра называется эффективной, если она имеет наименьшую дисперсию из любой другой альтернативной оценки при фиксированном объёме выборки. Оценка называется асимптотически эффективной, если с увеличением объёма выборки её дисперсия стремится к нулю.

3. Состоятельность. Оценка называется состоятельной, если она даёт истинное значение при достаточно большом объёме выборки.

При небольшом объёме выборки точечная оценка может значительно отличаться от оцениваемого параметра, т.е. приводить к грубым ошибкам. В этом случае следует пользовать интервальной оценкой.

Интервальной называют оценку, которая определяется 2 числами – концами интервала. Она позволяет установить точность и надёжность оценок.

Пусть найденная по данным выборки статистическая характеристика Q_В – оценка неизвестного параметра Q (=const).

Q_В тем точнее определяет Q, чем меньше модуль разности , т.е. и , следовательно, чем меньше , тем оценка точнее. Т.о. положительное число характеризует точность оценок.

Вероятности, признанные достаточными для того, чтобы уверенно судить о генеральных параметрах на основании выборочных характеристик, называются доверительными.

Надёжностью (доверительной вероятностью) оценки Q по Q_В называется вероятность , с которой осуществляется неравенство .

Обычно надёжность задаётся заранее, как правило = 0,95; 0,99 …(близкое к 1). Чем ближе доверительная вероятность к 1, тем надежнее оценка.

Интервал , в котором с заданной надёжностью находится параметр Q генеральной совокупности, называется доверительным интервалом. Концы доверительного интервала называются доверительными границами.

Предположим, что исследователем выбрана доверительная вероятность . Этой вероятности соответствует уровень значимости (или вероятность ошибки) .

В таком случае доверительный интервал для оценки генеральной средней определяется формулой:

,

где - объем выборки, - число степеней свободы выборки, - критическое значение -критерия Стьюдента, которое находят по таблице критических точек распределения Стьюдента.

Замечание. В практических расчетах при число степеней свободы полагают равным . Тогда критическое значение находят по последней строке таблицы.

Таблица критических значений t-критерия Стьюдента

(- число степеней свободы)

	Уровень значимости-		Уровень значимости-
0,1	0,05	0,01	0,001	0,1	0,05	0,01	0,001
	6,314	12,71	63,657	636,62		1,714	2,069	2,807	3,768
	2,920	4,303	9,925	31,599		1,711	2,064	2,797	3,745
	2,353	3,182	5,841	12,924		1,708	2,060	2,787	3,725
	2,132	2,776	4,604	8,610		1,706	2,056	2,779	3,707
	2,015	2,571	4,032	6,869		1,703	2,052	2,771	3,690
	1,943	2,447	3,707	5,959		1,701	2,048	2,763	3,674
	1,895	2,365	3,499	5,408		1,699	2,045	2,756	3,656
	1,860	2,306	3,355	5,040		1,697	2,042	2,750	3,646
	1,833	2,262	3,250	4,781		1,689	2,031	2,726	3,598
	1,812	2,228	3,169	4,587		1,684	2,021	2,704	3,554
	1,796	2,201	3,106	4,437		1,680	2,014	2,690	3,527
	1,782	2,179	3,055	4,318		1,676	2,009	2,678	3,505
	1,771	2,160	3,012	4,221		1,670	2,000	2,660	3,505
	1,761	2,145	2,977	4,140		1,664	1,994	2,649	3,458
	1,753	2,131	2,947	4,073		1,662	1,990	2,639	3,416
	1,746	2,120	2,921	4,015		1,661	1,987	2,632	3,402
	1,740	2,110	2,898	3,965		1,660	1,984	2,626	3,391
	1,734	2,101	2,878	3,922		1,658	1,980	2,617	3,373
	1,729	2,093	2,861	3,883		1,656	1,978	2,612	3,359
	1,725	2,086	2,845	3,850		1,653	1,972	2,501	3,340
	1,721	2,080	2,831	3,819		1,648	1,965	2,586	3,210
	1,717	2,074	2,819	3,792		1,645	1,960	2,580	3,291

Пример 5. Измерена сила кисти студентов. Получены следующие характеристики:

кг, кг.

Число студентов, участвующих в эксперименте, . Требуется оценить среднее арифметическое генеральной совокупности.

Решение.

1. Выбираем уровень значимости .

2. Так как объем выборки , то, учитывая Замечание, по таблице находим критическое значение .

3. Пользуясь формулой, находим требуемый доверительный интервал:

, или .

4. Изменяем уровень значимости, полагая . Тогда . Следовательно,

, или .

5. Делаем вывод: в 95% случаях среднее значение силы кисти студентов, охваченных исследованием, будет находиться в интервале от 49,67 кг до 50,33 кг, а в 99,9% не выйдет за пределы 49,48 кг50,52 кг.

Дата добавления: 2014-01-04