Понятие производной функции

Функция f называется дифференцируемой в точке х₀, если существует предел разностного отношения функции f в точке х₀

Этот предел называется производной функции f в точке х₀ и обозначается:

2.Производные некоторых элементарных функций.

(е^х) =е^х (а^х)¢ = а^х ln а ( sin х) = cos х

(ln х) ¢ = (х^п) = пх^п-1 (соs х) = - sin х

3.Частная производная.

Пусть функция f определена в некоторой окрестности точки

. Функция f называется дифференцируемой по х_k, если существует предел разностного отношения

этот предел называется частной производной функции f (по х_k) в точке Р₀

и обозначается:

или

4. Полный дифференциал функции f в точке P ₀:

5.Определенный интеграл.

Пусть функция f (х) определена и ограничена на отрезке [ а,b ]. Разобьем этот отрезок на "элементарные" отрезки введением п точек х_i следующим образом: а = х₀ <х₁ <х₂ <...<х_п-1 <х_п = b

Обозначим через dх длину элементарного отрезка dх = х_i – x_i-1. В каждом элементарном отрезке выберем произвольное число x _i (х_i £ x _i £ х_i-1).

Число называется интегральной суммой. Функция f(х) называется интегрируемой на отрезке [ а,b ], если существует число I со следующим свойством: для любого e > 0 найдется такое d(e) > 0, что при любом разбиении на отрезки dx, для которого dх < d, выполняется неравенство |s - 1| < e независимо от выбора x _i.

Число I называется определенным интегралом функции f (х) на

отрезке [ а,b ] и обозначается: I = . Здесь х называется переменной

интегрирования, а и b — соответственно нижним и верхним пределами интегрирования.

6.Вектор.

Геометрический вектор — это направленный отрезок в простран­стве. Длина вектора называется его модулем и обозначается: а = | |. В прямоугольной декартовой системе координат каждый вектор можно однозначно представить в виде = а_х + а_у +а_z , где , , — единичные векторы (орты) по осям координат х,у,z. Числа а_х,а_у,а_z называются прямоугольными декартовыми координатами вектора .

7.Скалярное произведение векторов.

Скалярное произведение векторов и есть число

=(, ) = аb соs j = а_хb_х+а_уb_у+а_zb_у

где j - угол между векторами и .

8.Векторное произведение векторов.

Под векторным произведением векторов и понимают вектор , имеющий длину с = ab sin j (площадь параллелограмма, построенного на и как на сторонах) и направленный перпендикулярно к и , причем так, что векторы , и образуют правую тройку векторов.

Обозначение: = [ , ] = ´

9.Скалярное поле.

Если каждой точке М пространства ставится в соответствие скалярная величина U, то возникает скалярное поле U(М) (например, поле температуры неравномерно нагретого тела, поле плотности в неоднородной среде, поле электростатического потенциала). Если М имеет декартовы координаты (х,у,z), то пишут U = U(х,у,z) или U = U () с векторным аргументом (радиусом вектором) = = х + у + z .

10.Векторное поле.

Если каждой точке М ставится в соответствие вектор , то говорят о векторном поле (М) (например, поле скоростей движущейся жидкости, гравитационное поле Солнца, поле электрической напряженности, поле магнитной напряженности). В декартовых координатах:

= (х,у,z) = () = V_х(х,у,z) + V_у(х,у,z) + V_z(х,у,z)

где — радиус-вектор. Компоненты V_х,V_у,V_z образуют три скалярных поля и однозначно определяют () —векторную функцию векторного аргумента.

11.Производная по направлению.

Пусть скалярное поле U() имеет в некоторой точке М₀ значение U ₀, и

пусть при перемещении по направлению вектора мы приходим из точки М₀ в точку М, где скалярное поле имеет значение U_s. Приращение U при этом перемещении равно dU = U_s - U₀. Предел отношения этого приращения dU к численной величине перемещения ds называется производной скаляра U в точке М₀ по направлению :

Значение этой производной существенно зависит от выбора направления и ее ни в коем случае нельзя смешивать с обыкновенной частной производной по скалярному параметру s. Чтобы подчеркнуть это обстоятельство, часто такую производную обозначают: .

12.Градиент.

Градиентом поля U() называется вектор, определяемый в каждой точке поля соотношением:

Тогда , где - единичный вектор в направлении .

Часто вектор gradU обозначают также или Ñ U, где Ñ ("набла") обозначает символический вектор, называемый оператором Гамильтона или набла-оператором:

13.Поток поля через поверхность.

Разобьем данную поверхность S на n элементарных площадок размером D S_i. Внутри каждой площадки выберем точку М_i и в этой точке построим нормальный к поверхности единичный вектор и вектор = D S_i направление которого , а модуль D S_i. Тогда мы определяем:

1) поток скалярного поля:

2) скалярный поток векторного поля:

3) векторный поток векторного поля:

14.Производная по объему.

Под производными по объему скалярного или векторного полей в точке М понимают величины трех типов, которые получают следующим образом.

(1) Точка М окружается замкнутой поверхностью S, которая охватывает область с объемом V. (2) Вычисляется интеграл Â по поверхности S:

, или , или . (3) Определяется предел

отношения этого интеграла к объему V, когда S стягивается в точку М, так что V стремится к нулю.

15.Дивергенция векторного поля.

Дивергенцией (обозначается ) векторного поля (М) называют следующую производную по объему поля в точке М:

Величина есть скалярный поток векторного поля через замкнутую поверхность S, которая окружает точку М и охватывает область G с объемом V.

Дивергенция есть мера источников поля (М). Если в области G = 0, то векторное поле (М) называется свободным от источников. Те точки поля, в которых > 0 принято называть источниками поля, а те, в которых < 0 — стоками поля.

16.Формула Гаусса-Остроградского.

Для пространственной области G, ограниченной замкнутой поверхностью S:

17.Оператор Лапласа.

Пусть U (М) — скалярное поле, тогда оператор Лапласа D U определяется следующим образом:

D U(M)= div grad U(M)

или в декартовых координатах:

Оператор Лапласа векторного поля: D (М) = grad (М) – rot rot (M)

18.Ротор векторного поля.

Ротором (вихрем) векторного поля называют следующую производную по объему поля в точке М:

Обозначается:

19.Теорема Стокса.

Циркуляция векторного поля (М) по замкнутой кривой L равна потоку ротора этого поля через поверхность S, опирающуюся на кривую L:

Примечание.

В этом приложении приведены определения некоторых математических понятий, часто используемых в курсе физики. Материал носит справочный характер, поскольку предполагается, что данные понятия известны читателю.

ГРЕЧЕСКИЙ АЛФАВИТ

Пропис-ные	Строч-ные	Название	Пропис-ные	Строч-ные	Название	Пропис-ные	Строч-ные	Название
A	a	Альфа	I	i	Йота	Р	r	Ро
B	b	Бэта	K	k	Каппа	S	s,V	Сигма
Г	g	Гамма	L	l	Лямбда	Т	t	Тау
D	d	Дэльта	M	m	Мю	Y	u	И-псилон
Е	e	Э-псилон	N	n	Ню	Ф	j	Фи
Z	z	Дзэта	X	x	Кси	Х	c	Хи
H	h	Эта	O	о	О-микрон	Y	y	Пси
Q	J	Тэта	П	p	Пи	W	w	О-мега

ПРИСТАВКИ К ОБОЗНАЧЕНИЯМ ЕДИНИЦ

фемто	10^-15	ф	f	мили	10^-3	м	m	гекто	10^2	г	h
пико	10^-12	п	p	санти	10^-2	с	c	кило	10^3	к	k
нано	10^-9	н	n	деци	10^-1	д	d	мега	10^6	М	M
микро	10^-6	мк	m	дека		да	da	гига	10^9	Г	G

ОСНОВНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ ПОСТОЯННЫЕ

Гравитационная постоянная	g = 6,6731·10^-11
Универсальная газовая постоянная	R = 8,31447
Атомная единица массы	и = 1,66057·10^-^27 кг
Постоянная Планка	h = 6,62607·10^‑^34 Дж/с
Элементарный заряд	е = 1,60218·10^-^19 Кл
Масса покоя электрона	те = 9,10938·10^-^31 кг
Масса покоя протона	тр =1,67262·10^-^27 кг
Молярный объем идеального газа при нормальных условиях (Р0 = 10132 Па, T0=273,15К)	V0 = 22,4138·10^-^3
Число Авогадро	NA = 6,02214·10^23 моль^-^1
Постоянная Больцмана	= 1,38065·10^-23
Постоянная Стефана-Больцмана	s = 5,6704·10^-^8
Электрическая постоянная	= 8,854188·10^-12
Магнитная постоянная	m0 = 4p · 10^-7
Скорость света в вакууме	с = 2,99792·10^8 м/с

Дата добавления: 2014-01-04