Вариационные основы МКЭ

При решении многих задач статики, динамики и устойчивости сооружений определяется их полная потенциальная энергия U:

U = W – V. (1)

Здесь W – работа внешних сил, V – работа внутренних сил. Обычно все они представляются в виде функций, зависящих от перемещений, деформаций, напряжений элементов расчетной модели сооружения.

Исследование этого выражения позволяет выявить важные законы механики, называемые принципами. Например, в теоретической механике известен принцип Лагранжа-Дирихле: для того чтобы механическая система находилась в равновесии, ее полная потенциальная энергия должна быть постоянной. Из этого принципа следует, что приращение полной потенциальной энергии системы, находящейся в равновесии, должно равняться нулю:

.

Вычисление приращения функции обычно заменяется вычислением его приближенного значения − дифференциала. В этом случае получается вариационное уравнение Лагранжа

,

где символ означает вариацию, вычисление которого схоже с вычислением дифференциала функции. Это уравнение позволяет свести задачу определения НДС сооружения к отысканию экстремума полной потенциальной энергии.

С учетом (1) вариационное уравнение Лагранжа принимает вид

.

Оно формулируется как принцип Лагранжа: вариация работы внутренних сил равна вариации работы внешних сил.

Принцип Лагранжа используется для сведения континуальной задачи расчета сооружений к дискретной задаче путем аппроксимации (приближенного определения) непрерывных полей перемещений, деформаций, напряжений внутри конечного элемента по его узловым перемещениям.

В строительной механике используются и другие вариационные принципы, аналогичные принципу Лагранжа, такие как принципы Кастильяно, Рейсснера, Ху-Вашицу и др. Однако мы воспользуемся только вариационным принципом Лагранжа как основой варианта МКЭ в форме метода перемещений.

Дата добавления: 2014-01-04