Обобщённые координаты. Понятие числа степеней свободы. §2. Описание эволюции системы в конфигурационном пространстве (КП)

Г.

§1. Обобщённые координаты. Понятие числа степеней свободы........................................................ 3

§2. Описание эволюции системы в конфигурационном пространстве (КП)..................................... 4

§3. Принцип Гамильтона (наименьшего действия).Уравнения движения Лагранжа.................... 5

§4. Функция Лагранжа и её свойства........................................................................................................ 6

§5*. Правило суммирования Эйнштейна................................................................................................. 6

§6. Функция Лагранжа простейших систем............................................................................................. 7

§7. Интегралы движения в методе Лагранжа........................................................................................ 10

§8. Свойства симметрии пространства и времени. Законы сохранения.......................................... 10

§9. Задача двух тел и сведение её к эквивалентной одномерной........................................................ 12

§10. Особенности движения частицы в центральном поле................................................................. 13

§11. Одномерный эффективный потенциал........................................................................................... 14

§12. Обобщенный импульс. Преобразование Лежандра. Уравнения Гамильтона........................ 15

§13. Фазовое пространство........................................................................................................................ 17

§14. Функция Гамильтона и её свойства................................................................................................ 17

§15. Функция Гамильтона простейших систем..................................................................................... 17

§16. Интегралы движения в методе Гамильтона.................................................................................. 19

§17. Скобки Пуассона и их свойства. Канонически сопряженные величины................................ 19

§18. Малые колебания и свойства потенциальной энергии............................................................... 22

§19. Колебания с одной степенью свободы. Характеристическое уравнение................................. 22

§20*. Колебания с n степенями свободы................................................................................................. 25

§21. Оператор .......................................................................................................................................... 31

§22. Уравнения Максвелла для электромагнитного поля в вакууме............................................... 32

§23. Потенциалы электромагнитного поля в вакууме......................................................................... 33

§24. Градиентная инвариантность........................................................................................................... 33

§25*. -функция......................................................................................................................................... 34

§26. Объёмная плотность точечного заряда........................................................................................... 35

§27. Закон сохранения заряда.................................................................................................................... 35

§28. Типы калибровок. Уравнения Даламбера для потенциалов..................................................... 36

§29. Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии................ 38

§30*. Теорема Стокса.................................................................................................................................. 40

§31*. Функциональные соотношения различных полей..................................................................... 41

§32*. Условия на границе раздела двух сред.......................................................................................... 42

§33. Уравнения Максвелла для стационарного электромагнитного поля в среде........................ 45

§34. Приближение линейного тока........................................................................................................... 47

§35. Уравнения Максвелла для квазистационарного электромагнитного поля............................ 48

§36*. Условия квазистационарности поля............................................................................................. 50

§37. Глубина проникновения квазистационарного электромагнитного поля................................ 50

§38. Уравнения Максвелла для электромагнитных волн в вакууме............................................... 51

§39. Волновое уравнение в случае вакуума........................................................................................... 52

§40*. Решение волнового уравнения в случае плоской электромагнитной волны в вакууме.... 52

§41. Плоская монохроматическая волна................................................................................................ 54

§42. Уравнения Максвелла в случае плоской монохроматической волны в вакууме.................. 55

§43*. Разложение электромагнитных полей по плоским монохроматическим волнам................ 55

§44. Калибровка Лоренца в случае однородной изотропной среды.................................................. 56

Задачи по курсу «Теоретическая механика и теория поля»............................................................... 56

Задачи по курсу «Теоретическая механика и теория поля» и их решение...................................... 61

Экзаменационные вопросы по курсу «Теоретическая механика и теория поля».(план минимум).. 69

Экзаменационные задачи по курсу «Теоретическая механика и теория поля».(план минимум) 70

Пусть число степеней свободы равно . Для задания пространственного положения системы необходимы координаты.

– размерность пространства.

– число материальных точек.

числу координат, с помощью которых можно задать положение материальных точек.

– радиус вектор а-той точки.

Если имеются связи, т.е. ограничения, накладываемые на движение системы, причём выраженные в форме уравнений, содержащих эти координаты, то число независимых координат будет меньше на число этих связей.

- все радиус векторы.

, , где k – число связей.

Такие связи называются голономными. Если присутствует время (t) в уравнениях, то связи – нестационарные.

Для вычисления числа степеней свободы можем записать формулу:

Любые независимые переменные, полностью определяющие пространственное положение системы, называются обобщёнными координатами.

Виды координат:

Сферические .

Декартовы .

И другие.

Графическое пояснение:

Вывод данных формул элементарен по Рис.1

- i -тая компонента.

Рассмотрим пример:

Дан математический маятник (Рис.2).

- это n-мерный вектор. Здесь n=1, и уравнения связи имеют вид:

где .

- уравнение связи.

Определим число степеней свободы:

Тогда число степеней свободы равно единице.

Дата добавления: 2014-01-04