Интегралы движения в методе Лагранжа

Задачи

1. Наити функцию Лагранжа двойного плоского маятника, находящегося в однородном поле тяжести (ускорение силы тяжести g).

Решение. в качестве координат берём углы φ₁ и φ₂, которые нити l₁ и l₂ образуют с вертикалью. Тогда для точки m₁ имеем:

чтобы найти кинетическую энергию второй точки, выражаем её декартовы координаты x₂, y₂ (начало координат в точке подвеса, ось y – по вертикали вниз) через углы φ₁ и φ₂:

после этого получим:

окончательно:

2. Найти функцию Лагранжа плоского маятника, находящегося в однородном поле тяжести (ускорение силы тяжести g) с массой m₂, точка которого (с массой m₁ в ней) может совершать движения по горизонтальной прямой.

Решение. Вводя координату x точки m₁ и угол φ между нитью маятника и вертикалью, получим:

Динамические переменные в методе Лагранжа – это обобщённые координаты и обобщённые скорости. Всего их 2n, они задают начальное состояние систем.

Интеграл движения – это функция динамических переменных и времени , сохраняющая своё значение при движении системы (в КП).

- постоянство означает, что полная производная по времени должна быть равна нулю:

При n=1 имеем:

, .

Дата добавления: 2014-01-04